Atajos en las
demostraciones
Jean-Paul Delahaye
Université des Sciences et Technologies
Lille, Francia
La concisión riesgosa de las pruebas humanas
contra el palabrerío impracticable de las pruebas
formales
¿Como saber si una demostración es correcta?
Uno se imagina que sería suficiente que un
matemático se tomara el trabajo de leerla con
cuidado, línea por línea, luego de haberse
informado de las definiciones y de los resultados conocidos
que podrían ser utilizados. Si algunas cuestiones no
están resueltas, como suele suceder, sabríamos
identificarlas claramente, y el trabajo del investigador
consistiría únicamente en resolver esos
enigmas previstos. La certidumbre reinaría en las
matemáticas.
Si esa descripción del panorama
matemático fuera cierta, pondría a las
matemáticas en oposición categórica a
la física donde nada establece definitivamente una
teoría. Una teoría física no es
más que una hipótesis susceptible de ser
puesta en cuestión por nuevos datos--uno sabe, por lo
tanto, que no se puede probar una ley física, un
enunciado general, mediante observaciones y experimentos que
solamente dan lugar a enunciados particulares.
Los lógicos se aferran a la vision
idealizada de las matemáticas, argumentando que desde
principios del siglo veinte se dispone de sistemas
codificados para escribir demostraciones--los llamados
sistemas formales. Cuando se escribe una prueba con uno de
esos sistemas, una computadora puede verificar la
corrección sin que medie intervención humana.
La corrección de una prueba formal, dicen los
lógicos, es verificable mecánicamente y no
requiere ninguna inteligencia. Ahora bien, una multitud de
razones complican esta situación ideal y atenuan la
imagen tan bella de una ciencia matemática sin
escrúpulos, sin disputas, sin errores, donde se
llegara a la unanimidad en toda cuestión y donde los
desacuerdos se pudieran resolver usando a las computadoras
como árbitros.
Vamos a evocar las dificultades encontradas en la
escritura de demostraciones formales verificables
mecánicamente. Estas dificultades no significan que
los sistemas codificados para la escritura de las
demostraciones sean inútiles o insuficientes--nadie
hoy en día pretende dejarlos de lado y es
improcedente evocar los teoremas de incompletitiud de
Gödel como argumentos contra los formalismos. Las
dificultades significan simplemente que la
utilización de formalismos lógicos es mucho
más delicada de lo que parece y que el mundo de las
matemáticas abunda en complejidades a las que no
sabemos, en la práctica, encerrar dentro de esos
frascos esterilizados que son los sistemas formales de los
lógicos.
En la introducción a su gran tratado de
matemáticas, Nicolas Bourbaki expresó muy
claramente ese punto de vista central en la
concepción moderna de las matemáticas:
"Conservando siempre presente, como una suerte
de horizonte, la posibilidad de una formalización
total, nuestro Tratado busca un rigor perfecto… Por
el hecho de que buscamos mantenernos constantemente lo
suficientemente cercanos a un texto formalizado de tal
suerte que éste parezca posible sin alargamientos
insoportables hemos facilitado la verificación;
los errores (inevitables en semejante emprendimiento)
pueden ser localizados sin pérdida excesiva de
tiempo y el riesgo de que esos errores descalifiquen un
capítulo o un libro entero es muy pequeño."
Algunas
de la figuras que acompañan este artículo
completan los detalles que faltarían a las
"demostraciones sin palabras" propuestas en esta revista en
febrero de 1998. Esas demostraciones gráficas
ilustran una idea importante: además de la
presentacion de las demostraciones en la lengua
vernácula o en la lengua formal, una
exposición silenciosa y geométrica de las
pruebas matemáticas es a veces posible.
Las pruebas reales que escriben los
matemáticos son muy diferentes de las pruebas
formales por una primera razón: la utilización
generalizada de abreviaturas. Entre las abreviaturas hay
algunas benignas que no introducen ninguna ambigüedad.
El matemático indicará por ejemplo que, para
ganar espacio, escribirá a7 en lugar de a
x a
x a
x a
x a
x a
x a, o sin(5)(x) en
lugar de sin(sin(sin(sin(sin(x))))); los paréntesis
alrededor del 5 evitarían la confusion entre
sin(5)(x) y sin5(x).
Si tan solo se utilizaran esas abreviaturas
sería fácil traducir una prueba humana en
prueba formal (y luego verificarla mecánicamente). Se
le requeriría a la computadora que reemplazara
sistemáticamente cada notación abreviada por
su versión completa y, aún si tal
práctica alargara el texto, esto no sería una
dificultad seria para la computadora a cargo de realizar la
verificación.
Atajos y Abreviaturas
Lamentablemente, la mayor parte de las abreviaturas son
ambiguas y solamente el contexto permite determinar lo que
ellas significan. La notación dx, por ejemplo, puede
representar el producto de la variable d por la variable x,
o bien el diferencial de x como se utiliza en el
cálculo integral. El matemático Littlewood
cita la anécdota en la que un profesor que
escribía el polinomio ax4 + bx3
+ cx2 + dx + e comentaba la fórmula
agregando que "e no necesariamente es pero podría ser
la base de los logaritmos naturales." El signo + indica la
adición entre enteros o la de matrices o toda suerte
de otras operaciones (no es raro que, en un mismo texto
matemático, varios signos + se utilicen, cada uno con
referencia a un concepto diferente). La notación i,
según el texto, designa un entero natural o el
número complejo cuyo cuadrado es &endash;1, o tal vez
otra cosa.
Uno encuentra con frecuencia similar
indicaciones que introducen ambigüedad: "El
parámetro k sera fijo durante el resto del
párrafo, y en lugar de fk(x) escribiremos
f(x)." Los textos matemáticos están llenos de
atajos como ése, atajos que vuelven difícil la
traducción a un lenguaje formal. Los
matemáticos son conscientes de aquello, como lo
atestigua la siguiente cita de Nicolas Bourbaki
(Algèbre linéaire, Chapitre II, p. 53): "La
notación uƒv puede
prestarse a confusiones y será necesario que el
contexto indique si se trata de un producto tensorial o de
una aplicación lineal." Miles de ejemplos similares
podrían darse.
Carencias por Todas
Partes
Con un trabajo cuidadoso y minucioso, todas esas
abreviaturas podrían detectarse y suprimirse del
texto de una demostración. Sin embargo, las
abreviaturas en la estructura misma de las demostraciones
son mucho más graves. Los textos matemáticos,
sin embargo, están llenos de ellas.
Se comprende lo que quiere decir "el lector
puede facilmente verificar que la cifra de las unidades en
2100 es 6" o "cuando uno desarrolla la potencia
(x + 4x5)12, el coeficiente de
x20 es 1056"; si toma una hoja de papel y se arma
de paciencia el lector se asegurará de lo correcto de
lo que se afirma y el trozo de demostración que
falta--una cuenta--será así reconstruido.
Algunas veces la cuenta que permitiría
completar tal verificación es imposible de realizar
sin la utilización de computadoras equipadas con
progtramas específicos. Imagínese lo que usted
debería hacer para asegurarse de la afirmación
"hay un 9.98% de sietes en el primer millón de cifras
decimales del número ¼ " (el cual es un enunciado
verdadero que podríamos encontrar en algún
libro). Uno debe tenerle confianza al autor que afirma eso,
o trabajar horas, tal vez hasta días, para verificar
la afirmación.
Cuando no se trata sino de cuentas, completar
los detalles que faltan en una prueba humana no parece
totalmente imposible. Por el contrario, ¿cómo no
inquietarse cuando el matemático, luego de haber dado
la demostración de un teorema para un caso en el que
b es positivo, escribe "el caso en el que b es negativo se
trata fácilmente" o "es análogo"?
¿Será cierto? ¿Cómo no volverse
francamente ansioso cuando en el texto de una
demostración uno descubre la lacónica, y sin
embargo muy frecuente, expresión "se deja como
ejercicio al lector"?
Veamos algunos ejemplos de ese tipo tomados del
libro de álgebra lineal de Bourbaki. Por empezar, la
expresión clásica "se verifica
fácilmente que …" (Capítulo 1, p. 107).
Tal frase no parece servir de ninguna ayuda al lector. Al
menos no es tan desesperante como cuando usted encuentra un
obstáculo al realizar la demostración omitida
que se anunciara con "la demostración es
todavía más simple para …"
(Capítulo 2, p. 85).
La inevitable "se ve que …" es una
integrante indiscutida del arsenal demostrativo de Bourbaki
(Capítulo 3, p. 158). Cuando se dan precisiones,
éstas no son necesariamente elocuentes. Por ejemplo,
no es inmediato que uno pueda hacer mucho con las
precisiones crípticas dadas para la
demostración de la proposición 3 del
capítulo 2 (p. 39) que termina diciendo: "La
conclusión resulta entonces de la def. 1 y de II, p.
10, prop. 5(ii)." Aun más deliciosa es la
sorprendente demostración en una línea de un
enunciado que ocupa cuatro líneas: "Esto resulta de
E, III, p. 29, prop 12, y E,.III, p. 42, cor 1"
(Capítulo III, p. 87).
¡Se Puede Hasta Omitir los
Teoremas!
Los lectores no matemáticos se sorprenderán
al saber que los atajos pueden extenderse más
allá de las demostraciones y que esto ocurre incluso
en los mejores tratados. Así, algunas veces, hasta
las definiciones y los enunciados se omiten. Siempre en el
tratado de N. Bourbaki, encontramos la admirable
expresión: "Dejamos al cuidado del lector la
formulación de las definiciones y comentarios
análogos para el sistema de ecuaciones lineales a la
izquierda" (Capítulo II, p. 146), y tambien: "Dejamos
al cuidado del lector la definición de un sistema
proyectivo de anillos… y la verificación de que
…" (Capítulo II, p. 146). ¿Por qué
no confiar al lector el trabajo de escribir por su cuenta el
capítulo siguiente?
Estas omisiones no son inocuas. Muchos
matemáticos dirán ademas que si bien tales
omisiones parecen inevitables, ellas siguen siendo
peligrosas. En efecto, es frecuente que se produzcan errores
en los textos matemáticos precisamente en los lugares
en los que el autor, un matemático calificado, ha
dejado los detalles sin completar por estar convencido de
que la demostración es posible a partir de las
indicaciones sucintas que él propone a título
de argumento.
Las simplificaciones a la tarea del autor
aportadas por expresiones como "se lo dejamos al lector" u
otras como "a título de ejemplo demostramos el caso
quinto" son peligrosas. En efecto, todos aquellos que
escriben textos matemáticos saben que con mucha
frecuencia ni siquiera ellos mismos han tomado una hoja de
papel para asegurarse que esos detalles que sugieren que el
lector complete pueden de hecho ser completados. Los autores
han trabajado las ideas, están convencidos
profundamente que "el argumento funciona", pero ¿es eso
suficiente? Sin embargo, como podrían prohibirse esas
simplificaciones cuando incluso Bourbaki reconoce que en los
textos matemáticos "el empleo de recursos
retóricos es necesario" (Bourbaki, Introduction, p.
7)?
Animado por el placer de la economía y la
concisión, preocupado tambien por no ser tomado por
un imbécil si da todos los detalles para una
inferencia demasiado sencilla, todo matemático acorta
sus demostraciones; y mucho más cuando su audiencia
consiste de matemáticos de alto nivel. Aunque parezca
extraño, ocurre entonces que los riesgos son mayores
en los textos donde se presentan resultados de
investigación. En un curso destinado a estudiantes,
el matemático tratará de moderar su
preferencia por esbozos de pruebas, por más que no
siempre pueda resistirse a la tentación de decir que
"el caso 1 es trivial" y sobre todo a dejar cosas como
ejercicio. Estas piruetas lacónicas crean
desesperación en la mayoría de los
estudiantes, incapaces de completar esos detalles
supuestamente fáciles, y dejan con un sentimiento de
culpa al lector que está muy apurado como para
realizar el trabajo sugerido, mientras que sin embargo en la
introducción el pérfido autor ha dicho que
será importante tratar seriamente esos ejercicios
para asegurarse que uno está comprendiendo el
tema.
Un Bache Famoso
Uno de los baches más famosos en una prueba
matemática proviene del uso de uno de esos atajos
imprudentes. Como todos sabemos, el miércoles 23 de
junio de 1993, luego de tres días de conferencias,
Andrew Wiles concluyó su presentación
pública de la prueba del Ultimo Teorema de Fermat (al
que el demostró como un caso particular de resultados
más generales). Nadie en el auditorio pudo verificar
la demostración, ciertamente compleja, de la que
solamente sus grandes rasgos se explicaron oralmente. La
demostración, de aproximadamente doscientas
páginas de extensión, se sometió a un
comité de expertos compuesto de seis especialistas
que la trabajaron por varios meses. Varias veces debieron
ellos interrogar a Wiles para que les explicara el sentido
de lo que estaba escrito. ¡Frente a una prueba formal,
los expertos matemáticos no hubieran tenido que
contactar a A. Wiles! A. Wiles mismo afirmaba haber
verificado cada etapa de la demostración dos veces
antes de confiarla a sus colegas. Ante cada cuestión
de los expertos, él daba una respuesta que sacaba las
dificultades del medio. Poco a poco, A. Wiles volvió
comprensible su documento, el cual, si las
matemáticas se conformaran a la descripción
idealizada dada al principio de este artículo,
debería haber sido el caso desde el principio.
El examen de la demostración avanzaba
lentamente hacia una validación total, hasta el
día en que una respuesta no satisfizo totalmente a
uno de los expertos, ni la respuesta complementaria del
día siguiente: había un bache en la
demostración que, a pesar de todo el cuidado puesto
por A. Wiles, no había sido advertido por él.
La falla provenía de la utilización, fuera de
las condiciones precisas donde se había demostrado,
de un procedimiento que A. Wiles, en una
generalización apresurada, había utilizado sin
hacer en ese caso todos los controles requeridos.
Conocemos lo que pasó después:
fueron necesarios más de dos años para
corregir el error y arribar, tomando un camino diferente del
propuesto en 1993, a una demostración completa que
los expertos juzgaran aceptable. Notemos, para tranquilizar
a los ansiosos, que tan pronto como se obtuvo el acuerdo de
los expertos, la prueba fue confirmada por otros expertos.
Más aun, hoy por hoy no hay ninguna duda de la
validez del resultado&emdash;es decir de que es posible
escribir una prueba formal del teorema de Fermat. Lo largo
de la prueba prohibe al presente esta transcripción
formal completa pero no hay ninguna controversia alrededor
de la afirmación de su existencia. La dificultad
evocada en la edición de noviembre con respecto a la
transcripción de la prueba de A. Wiles en el
formalismo de la aritmética elemental de Peano
(más limitado que el formalismo de la teoría
de conjuntos que sirve de referencia implícita hoy en
día), no cuestiona para nada la unanimidad que reina
en la comunidad matemática sobre la validez de la
prueba de A. Wiles. Y salvo la posibilidad de que la
teoría de conjuntos sea contradictoria, la victoria
es definitiva.
Las Controversias
Hoy por hoy se ha vuelto cierto que cuando surge una
controversia sobre la validez de una demostración en
matemáticas, tal controversia no dura para siempre.
Esto es así por la posibilidad de que uno se aproxime
más y más a lo que sería la prueba
formal completa del resultado.
La relación entre pruebas formales y
pruebas reales se puede resumir diciendo: las pruebas
formales no suelen ser escritas por matemáticos sino
raras veces puesto que son tan largas, pero son ellas mismas
las que sirven de último recurso en la
evaluación de una prueba real cuya validez
está en duda. En efecto, es mediante buscar acercarse
paso a paso a lo que sería una prueba formal del
resultado en disputa que se obtiene un acuerdo definitivo: o
bien no se encuentran obstáculos en el camino que
conduce al acuerdo (camino que raras veces se sigue hasta el
final) y la prueba real se considera satisfactoria, o bien
se encuentra un bache imposible de arreglar y la prueba
deviene insuficiente, por lo tanto inexistente…
La supresión de controversias en
matemáticas es relativamente nueva. En efecto, antes
de los progresos en lógica de principios de siglo,
las controversias se presentaban regularmente y profundas
incertidumbres eran causa de divisiones intelectuales, aun
en matemáticas. Este supo ser el caso al final del
siglo XVII cuando el cálculo diferencial fue
descubierto a pesar de que la noción de límite
no había sido comprendida sino de una manera
imperfecta. (La noción de límite fue precisada
por A. Cauchy, 1789-1857, y por K. Weierstrass, 1815-1897.)
Al tiempo en que surgía la topología, otras
controversias prolongadas se dieron lugar, tales como la que
el filósofo Imre Lakatos detalla en su libro a
propósito de la fórmula de Euler v &endash; a
+ c = 2 (a es el número de aristas de un poliedro, v
el número de vértices, c el número de
caras) para la cual supo ser difícil precisar
exactamente su dominio de validez.
A principios del siglo veinte, una de las
últimas grandes controversias en matemáticas
supo ser la concerniente a los fundamentos pero ésta
no se refiere a la exactitud o inexactitud de algunas
pruebas puntuales, sino a una disputa sobre los modos de
razonamiento que legítimamente podrían ser
utilizados (nociones conjuntistas, axioma de
elección, razonamientos no constructivos, etc.). Hoy
en día, gracias a los sistemas formales, la
controversia sobre los fundamentos de la matemática
se ha extinguido y solamente sigue siendo un problema para
filósofos en el cual pocos matemáticos se
interesan. Se ha vuelto posible establecer un acuerdo
unánime con respecto a toda cuestión
importante: eso verdaderamente hace que las
matemáticas sean una ciencia distinta de las
demás.
Dudas acerca del teorema de Gödel fueron
presentadas por algunos matemáticos inmediatamente
luego de su publicación, pero las faltas graves de
comprension que hacen que los aficionados duden de tal o
cual resultado (por ejemplo, la no numerabilidad de los
números reales o la imposibilidad de encontrar la
cuadratura del círculo) no deben ser tomadas en
serio. Al menos no más seriamente que los intentos
por inventar una máquina de movimiento perpetuo por
parte de alguno de esos infaltables inventores de domingo.
En efecto, hoy en día hay unanimidad en
matemáticas en lo que concierne a la
corrección de los resultados, y ninguna verdadera
controversia se mantiene por mucho tiempo.
Progresos en la
Formalización
Son pocos los matemáticos que hoy en día se
interesan en formalizar completamente sus demostraciones,
pero los progresos logrados en ese terreno no son
desdeñables.
A Poincaré le parecía absurdo que
para escribir 1 en el sistema formal de los Principia de
Russell y Whitehead (el primer sistema formal completo que
permitiera la escritura de un trozo importante de las
matemáticas) hiciera falta una gran cantidad de
símbolos. Apasionado con el tratado de
Matemáticas de N. Bourbaki, en el cual las primeras
páginas se dedican a describir en detalle el sistema
formal sobre el cual el tratado se apoya, un amigo
mío encontró divertido escribir
explícitamente, sin utilizar ninguna abreviatura, la
sucesión de símbolos que representa al
conjunto de partes de un conjunto. La expresión, una
vez transcripta en una tira de papel, tenía una
longitud de tres metros.
Los sistemas formales de hoy en día no
presentan ya esas deficiencias ridículas, pues con el
propósito de poderlos manipular, se han concebido
notaciones más eficaces con la ayuda de
computadoras,. Gracias a ello se ha podido además
escribir las pruebas de resultados matemáticos
bastante avanzados. Las técnicas utilizadas en estas
ocasiones han servido para probar la validez de los
programas de computación, y ésta es un
área de activa investigación donde la
lógica viene en ayuda de la informática.
Formalización de los
Infinitesimales
Otros progresos lógicos han sorprendido a los
matemáticos. Nos desesperaba no poder justificar los
eficaces métodos de cálculo fundados en la
manipulación de infinitesimales con un formalismo
preciso. El análisis en los siglos XVIII y XIX
prefirió extirpar de las matemáticas a esos
molestos e indomables infinitesimales. Pero el sistema
formal del análisis no standard de A. Robinson, en
los años 60, tuvo éxito en la proeza de
proponer reglas para el uso de los infinitesimales. Hoy por
hoy, quien desea hacer uso de su intuición
física para calcular dispone de un formalismo que le
permite demostrar la validez de sus cálculos, los que
otrora se considerarían no rigurosos. Los resultados
logicos conocidos en lo que concierne al análisis no
standard son dignos de mención. Uno de ellos indica
que que toda propiedad que no mencione a los infinitesimales
segun estos se conciben en el marco del análisis no
standard puede también ser demostrada en el
formalismo conjuntista usual (sin utilizar los
infinitesimales). Este resultado justifica a posteriori la
elección histórica de los matemáticos
de dejar de lado los infinitesimales. Pero
conociéndolo al resultado, éste permite que
hoy en día quien juzgue conveniente utilizar los
infinitesimales pueda dar vía libre a sus
preferencias.
Pruebas Heurísticas y "Casi
Pruebas"
En paralelo con la noción de prueba formal que
sirve para poner a todo el mundo de acuerdo para saber si
algo ha sido realmente demostrado, existe una multitud de
pruebas no formales, incluso no formalizables (por lo menos
no con los sistemas conocidos hoy en día) que
proporcionan bastante certeza. Estas pruebas
heurísticas, es así como se las llama, son
extrañas&emdash;cuando uno las estudia, ellas lo
persuaden a uno de la verdad de las proposiciones en
cuestión. Sin embargo, de manera similar a las
pruebas de antaño que hacían uso de los
infinitesimales, los matemáticos rechazan estas
pruebas heurísticas. Es cierto que ellas "nos hacen
ver que el resultado es verdadero" pero hasta que no
dispongamos de buenos sistemas formales (análogos al
de A. Robinson para el análisis no standard),
será imposible transformarlas en pruebas formales.
Eso significa simplemente que, desde el punto de vista de
los matemáticos, ¡tales pruebas
heurísticas no demuestran nada!
Un ejemplo de prueba heurística
difícil de transformar en prueba formal se indica en
la figura
5.
"Casi" Pero No Tanto
Otro ejemplo de un resultado casi probado es el que
concierne los números perfectos impares&emdash;un
resultado que lleva veinte siglos resistiéndose a ser
probado. Un número perfecto es un número que
es igual a la suma de sus divisores distintos de sí
mismo. El número 6, que es divisible por 1, 2, y 3,
es un número perfecto porque 1 + 2 + 3 es igual a 6.
Seis es el más pequeño de los números
perfectos, los tres que le siguen son 28, 496, y 8128.
¿ Existen los números perfectos impares? La
pregunta sigue en pie luego de dos mil años. Nadie
jamás ha encontrado uno, pero nadie tampoco ha podido
demostrar que ninguno existe. Pese a la ausencia de una
demostración, hoy en día todo el mundo
está persuadido de que no existen números
perfectos impares, pues se han demostrado rigurosamente una
gran cantidad de propiedades que tal número perfecto
impar debería de poseer si existiera, a saber:
- Si un número perfecto impar existiera,
debería poseer al menos 8 factores primos
diferentes, y si fuera múltiplo de 3,
debería poseer al menos 11. (P. Hagis, 1983)
- Si un número perfecto impar existiera,
debería ser tal que la suma de los inversos de sus
factores primos esté en el intervalo (0.596,
0.694) (D. Suryanarayan, P. Hagis, 1970)
- Si un número perfecto impar existiera, el
orden de multiplicidad de uno cualquiera de sus factores
primos sería mayor que 1020 (G. L.
Cohen, 1988)
- Si un número perfecto impar existiera,
sería mayor que 10300 (R. Brent, G. L.
Cohen, H te Riele, 1989)
- Si un número perfecto impar existiera, uno de
sus factores primos sería mayor que 106
(P. Hagis, G. L. Cohen, 1998), otro de ellos sería
mayor que 104, y otro más sería
mayor que 103 (D. Ianucci, 1999).
Nótese que algunos de esos resultados se
demostraron hace apenas algunos meses. Parece como si
ningún número podría verificar todas
esas condiciones a la vez (pero este hecho no ha sido
establecido rigurosamente), y por lo tanto se cree con
más fuerza que nunca que no existe ningún
número perfecto impar. Esta creencia y la idea de que
se ha llegado a algunos milímetros del resultado
final no constituyen todavía una prueba
matemática formalizable, y por lo tanto, como siempre
es el caso, no existe ninguna controversia sobre este
asunto. Por más fuerte que sea nuestra creencia en
que no existen los números perfectos impares, nadie
osa decir que ése es un resultado probado.
Referencias
Bourbaki N., Éléments de
mathématique, Paris.
Lakatos I. (1984) Preuves et réfutations.
Paris : Éditions Hermann.
Nelsen R. (1993) Proofs Without Words : Exercices in
Visual Thinking, The Mathematical Association of America,
1993, ISBN 0-88385-700-6.
Dieudonné J. (1987) Pour l'honneur de l'esprit
humain, Hachette, 1987.
Salanskis J.-M. (1999) Le constructivisme non
standard, Presse universitaires du Septentrion, ISBN
2-85939-604-7, 1999. (À propos de l'Analyse non
standard).
Singh S. (1998) Le dernier théorème de
Fermat, Éditions J.-C. Lattès, 1998.
Traducción,
Patricio Herbst
Jean-Paul.Delahaye@lifl.fr
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