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Résumés
des cours
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Cours n°1
Gilbert Arsac
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Reprenant les
distinctions classiques entre preuve et
démonstration, on s'attachera à l'étude
de la démonstration dans la tradition
mathématique occidentale, c'est-à-dire
successivement grecque, arabe, européenne, car elle
est à l'origine de toute la pratique
mathématique actuelle.
La démonstration peut s'envisager
sous son aspect formel (respect de certaines règles)
ou sous son aspect accord social. On examinera le lien a
priori entre les deux. Dans l'histoire des
mathématiques occidentales (ceci inclut la tradition
arabe), deux modèles ont marqué
successivement: celui de la démonstration euclidienne
(jusqu'au dix-huitième siècle au moins, et
plus tard en ce qui concerne l'enseignement) puis le
modèle hilbertien. Dans les deux cas, il s'agit d'un
modèle que l'on ne respecte pas toujours dans la
pratique mais, présenté comme un idéal
(démonstration à la manière des
Anciens, puis formalisée). Lorsqu'on ne respecte pas
ce modèle, c'est-à-dire dans la plupart des
cas, on affirme, souvent de façon peu vraisemblable
qu'on pourrait le faire, à condition d'y passer du
temps. En général, le respect du modèle
est lié à certains contextes
mathématiques particuliers: la
géométrie pour Euclide, et pour Hilbert,
à nouveau la géométrie mais aussi la
théorie des ensemble, la logique formelle.
Le modèle euclidien à
travers la géométrie
élémentaire, continue à jouer un grand
rôle sur le plan de la démonstration, pas
seulement en France. Ceci justifie un éventuel retour
plus détaillé sur ce modèle, ses
raisons, ses limites. Cette étude sera liée au
travail de Hilbert dans la mesure où l'axiomatique
géométrique hilbertienne peut être un
outil d'analyse du corpus euclidien.
L'insistance sur l'exemple
géométrique et l'oubli systématique du
rôle du calcul incitent à examiner
également à l'opposé la
démonstration dans les livres arithmétiques
d'Euclide et chez Diophante puis dans l'analyse occidentale.
L'exemple des fondateurs du calcul différentiel,
Newton et Leibniz, sera particulièrement
étudié, on examinera ensuite l'effet sur
l'analyse de la "crise des fondements"
particulièrement importante dans la mesure où
elle vise en particulier à traiter
mathématiquement et non pas philosophiquement le
problème de la démonstration.
Toute démonstration est
écrite. On examinera de ce point de vue la
démonstration euclidienne et le rôle que joue
dans son apparition l'écriture alphabétique,
et simultanément la logique sous-jacente à la
langue. Chez Hilbert on trouve à la fois une pratique
de la démonstration traditionnelle, voisine de celle
d'Euclide, une pratique dans laquelle les objets
mathématiques sont formalisés mais
manipulés au moyen de la langue courante et de sa
logique, et enfin une théorie dans laquelle
mathématiques et logique sont formalisées.
Ceci conduit plus généralement à
l'étude des liens entre logique et
démonstration.
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Cours n°2
Nicolas Balacheff
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Les rapports entre
preuve et démonstration sont bien contrastés
dans les recherches en didactique développées
en langue romane, en revanche le clivage est moins nettement
marqué dans d'autres contextes d'expression et de
thématisation de la recherche. Nous interrogerons ces
différences en prenant pour point de repère
quelques travaux significatifs dans le champ international.
Les résultats avancés par ces recherches
manifestent le développement d'une
problématique sur l'axe
argumentation-démonstration, plus que sur l'axe
preuve-démonstration. En fait, on peut remarquer que
l'on retrouve, dans la sphère d'expression romane, ce
renforcement de la problématique
argumentation-démonstration. Toutefois, comme nous le
discuterons, cette convergence n'est probablement que
superficielle (les conceptions sous-jacentes de la preuve et
des mathématiques ne sont pas de même nature).
Nous concluerons cette première partie du cours par
un examen des rapports entre preuve et démonstration,
et la proposition de travaux que l'on peut envisager pour
progresser dans leur compréhension.
C'est sur le terrain de l'écriture,
comme organisation des signes dans l'espace d'un support de
médiatisation, que l'on a parfois cherché
à résoudre les problèmes de
l'enseignement de la démonstration. Un exemple
particulièrement net est celui du format de la
"preuve sur deux colonnes" dans l'enseignement de la
géométrie aux Etats-Unis. Les recherches dans
ce domaine ont suivi deux voies assez différentes,
soit que l'on ait considéré l'écriture
comme le moyen de révéler la
spécificité de la démonstration comme
texte, soit que l'on ait privilégié une
problématique de la démonstration comme
discours dont l'objet est la validité d'un
énoncé. Nous examinerons, dans la seconde
partie de ce cours, les travaux réalisés dans
ces deux directions de recherche et les
problématiques de la démonstration qui leurs
sont sous-jacentes.
Enfin, parce que les environnements
informatiques permettent d'échapper à la
réduction des premiers apprentissages de la
géométrie à ceux d'une calligraphique
particulière, nous ouvrirons le thème
proposé pour ce cours aux recherches que l'on peut
rattacher au slogan "proofs without words" et à la
question des problématique de la preuve dans les
environnements informatiques de génération et
de manipulation d'objets graphiques (géométrie
dynamique, grapheurs, etc.).
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Cours n°3
Raymond Duval
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Ecrire pour
découvir ce qu'est une démonstration
Dans ce cours nous nous proposons d'expliquer pourquoi
l'écriture de textes de démonstrations est un
moment essentiel dans l'apprentissage ou dans la
découverte ce que c'est que démontrer.
L'analyse des processus cognitifs spécifiques
d'expression que l'activité d'écriture
implique sera donc au centre du cours. Cette analyse sera
conduite par rapport au fonctionnement discursif propre
à tout raisonnement déductif valide et
à son insertion dans un corpus théorique de
propositions déjà démontrées.
Cela nous montrera que les textes de démonstration,
davantage peut-être que dans les autres disciplines,
ne peuvent pas être séparés de l'
activité d'expression écrite.
Nous partirons de l'existence de deux
pratiques totalement différentes de
l'écriture: l'une que nous appellerons "transcrire"
et l'autre "écrire". La première reste
entièrement dans le champ d'une pratique de
l'expression orale ou peut en être que la simple
reprise, et l'autre au contraire s'en affranchit. Ces deux
types de pratiques ne répondent pas aux même
fonctions, aux mêmes tâches cognitives et ne se
manifestent pas à travers les mêmes formes
d'activité. Et un très rapide rappel de
certains des résultats des études psychologie
cognitive centrées sur le traitement de
l'information, suffira à montrer la différence
de fonctionnement cognitif impliqué par ces deux
pratiques. Toute cette analyse introductive sera faite
uniquement dans le but de mettre en évidence l'enjeu
d'un passage d'une pratique orale de l'expression,
directement prolongée par un "transcrire" (il n'y a
plus qu'à rédiger) à une pratique
écrite de l'expression.
La question pourquoi c'est dans
l'écriture que l'on peut prendre conscience du
fonctionnement d'un raisonnement valide et découvrir
ce qu'apporte une démonstration pourra alors
être abordée de front. Nous attacherons
à deux points essentiels suivants :
1. Tout
discours mathématique, au moins dans les
mathématiques enseignées ou mêmes
exposées, enchevêtre plus ou moins et selon
des proportions très variables, deux discours : un
discours "opératoire" et un discours "commentaire"
(nous éviterons ici le terme "explicatif" dont
l'emploi ici peut être équivoque ), ce
discours opératoire pouvant d'ailleurs être
aussi bien fait dans le registre de la langue naturelle
que dans ceux d'écritures symboliques.
2. Il y a plusieurs
niveaux d'articulation du sens en langue naturelle qui ne
peuvent pas être pris en compte lors de
l'expression orale (aussi bien en position de locution
qu'en position d'écoute) mais seulement au niveau
de l'expression écrite. Et la prise de conscience
de l'organisation discursive propre à tout
raisonnement valide, ainsi l'accès au niveau du
corpus théorique des propositions implique que
l'on ait discriminé ces différents niveaux
d'articulation et que l'on soit mesure de les prendre
spécifiquement en compte.
Nous pourrons alors
aborder le problème de savoir comment faire faire
aux élèves ce passage du transcrire à
l'écrire. Ce problème présente deux
aspects. L'un est relatif au textes de démonstration
en tant que produits destinés à être
autonomes par rapport à l'activité
d'expression. L'autre est relatif aux attitudes des
élèves devant le coût important que
l'activité d'écriture semble exiger, du moins
au départ. Le premier aspect recouvre des questions
formelles (que doivent-ils énoncer ? de quelle
manière ?..) de questions mathématiques
d'interprétation (la détection des lacunes qui
ne doit pas être mise sur le même plan que celle
des dysfonctionnements) et des questions proprement
didactiques (quelles exigences selon le moment de
l'apprentissage). Le second aspect recouvre la
détermination de situations qui vont permettre aux
élèves d'entrer dans la pratique de
l'expression écrite ( les variables relatives aux
registres de représentation, la prise en compte des
échelles de temps dans l'activité, les
objectifs assignés à la
rédaction..).
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Présentation des ateliers
et des T.D.
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1.
Gilbert Arsac et Viviane Duran-Guerrier
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Démonstration
et quantification existentielle
On se propose de regarder sur qelques exemples de
démonstrations existentielles ou de
démonstrations utilisant des théorèmes
existentiels en mathématiques quel niveau de rigueur
semble être considéré, suivant les cas,
comme acceptable en premier et second cycles universitaires
scientifiques. On comparera avec ce que pourrait être
une preuve acceptable conformément aux normes du
calcul des prédicats (en référence par
exemple aux règles de Copi). On essayera de mettre
en évidence ce qui remplace dans le discours de
l'enseignant et/ou de l'étudiant " la logique
absente ", et on s'interrogera sur la confiance que l'on
peut accorder aux contrôles qui sont ainsi
exercés.
Le travail de réflexion sera
amorcé par l'analyse effective par les participants
d'une démonstration existentielle de niveau fin de
lycée, début d'université ; l'objectif
étant de permettre aux participants de prendre
connaissance de nos outils d'analyse afin de pouvoir les
discuter.
N.B. Ce qui sera
présenté correspond à un travail en
cours.
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2.
Paolo Boero
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Choix des
thèmes de travail et des tâches pour l'approche
aux théorèmes
Dans la resolution d'un probleme convenablement choisi dans
un domaine d'experience convenable, l'enseignant peut
s'appuyer sur des comportements spontanees des eleves dans
ce domaine d'experience pour realiser la mediation de
certains elements importants de la culture des theoremes
(comme la généralite et la
conditionnalité de l'énoncé, la
nécessité d'une théorie de
référence pour la démonstration, le
caractère déductif de la
démonstration). On sollicitera une discussion sur le
contenu mathematique des activités d'approche aux
théorèmes que differents équipes
italiennes réalisent dans des domaines
d'expérience ou les référents physiques
(ombres du soleil, machines communes...) constituent le
terrain initial de la production des conjectures et de la
construction des demonstrations".
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3.
Patrice Delegue
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Production
d'écrits dans la conduite díun
raisonnement
Des professeurs stagiaires PLC2 sont conduits à
produire plusieurs raisonnements ou à examiner des
réponses publiées à propos d'un
problème donné. Une des difficultés est
d'examiner ce qui sous-tend ces raisonnements et d'examiner
leurs relations. L'utilisation de segmentations et de la
production de sous-figures peut les aider à faire ce
travail. Je propose de traiter des exemples sur des
exercices de géometrie élémentaire en
évoquant les difficultés et les
résultats des professeurs stagiaires dans ces
productions.
Nous étudierons aussi un autre
travail; celui-ci est proposé aux professeurs
stagiaires des écoles: il 'íagit, en leur
faisant analyser divers textes d'articuler ou de produire en
référence à une figure proposée
dans un manuel de l'école, de leur faire prendre
conscience de la composition de cette figure, c'est à
dire des relations géométriques que les
sous-figures entretiennent.
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4.
Jean-Philippe Drouhard et
Maryse Maurel
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Fonctions
didactiques du récit et expérience de la
nécessité
Dans notre theorie, de même que nous separons
"connaissances locales" pour le sujet et "savoir
mathematique", nous placons l'argumentation du cote du sujet
et la preuve du côte des mathematiques. Argumentation
et preuve permettent d'etablir à des degrés
divers et de maniere différente le caractère
nécessaire des énoncés mathematiques
(voir atelier CESAME-GECO de EE-9, page 70 des Actes).
Nous montrerons a travers deux
expérimentations, l'une en Seconde, l'autre en DEUG,
ce que l'on peut saisir de l'expérience de la
nécessiée qui se construit peu a peu dans
l'histoire du sujet.
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5.
Raymond Duval
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Comment analyser un
texte de raisonnement ?
Il y a deux problèmes méthodologiques majeurs
dans l'analyse des textes et des discours. Le premier est
celui de leur segmentation en unités pertinentes. Le
second est celui des traitements qui peuvent être
effectuées sur le corpus de données ainsi
constitué et sur le type d'information que l'on peut
légitiment en retirer. Ce sont ces deux
problèmes que nous aborderons pour les textes de
raisonnement, c'est-à-dire pour les textes de
démonstration et pour ceux d'argumentation. Bien que
l'on travaillera surtout sur des textes de
démonstration, nous distinguerons les
procédures d'analyse communes à tous les
textes de raisonnement et celles spécifiques à
chacun de ces deux types de raisonnement. Nous aborderons
enfin la question des différents usages qui peuvent
être faits d'une analyse méthodique des textes
de raisonnement et de leur intérêt :
étude de manuels ou de discours d'enseignants,
étude de l'évolution des élèves,
étude des "ponts" entre le raisonnement et les
différents regards sur une figure de départ,
dans le cadre des problèmes de
géométrie.
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6.
Marie-Agnès
Egret
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Problemes
d'ecriture de demonstration par des eleves de
lycée.
Le but de cet atelier est de mettre en évidence
les difficultés des élèves dans la
phase d'écriture des démonstrations.
Pour cela, nous regarderons des textes
rédigés par des élèves et des
enseignants a propos d'exercices d'arithmetique.
Nous nous demanderons quelle signification
donner aux erreurs rencontrées.
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7.
Patrice Gibel
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Etude de
différents types de raisonnements utilisés par
les enseignants et par les élèves dans la
relation didactique en mathématiques à
l'école primaire.
Les différentes formes de
raisonnements des élèves seront
étudiées dans le cadre de la théorie
des situations de Guy Brousseau. Le schéma de la
structuration du milieu nous fournira un outil pour analyser
les raisonnements des élèves, lorque ces
derniers sont en situation a-didactique.
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8.
Patricio Herbst
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Produire et
enseigner la démonstration dans les classes de
mathématiques aux Etats-Unis
Cet exposé se divise en trois parties. Dans une
première partie, je présenterai le
développement historique de la démonstration
dans l'enseignement aux Etats-Unis d'Amérique. En
particulier, je décrirai les conditions qui ont
assuré la viabilité, du point de vue des
enseignants, du format de la preuve sur deux colonnes,
comme outil de preuve et d'enseignement de la preuve. Dans
une deuxième partie, je présenterai quelques
recherches sur la preuve réalisées aux
Etats-Units. En particulier, des études sur les
conceptions des élèves à propos de la
preuve (Harel & Sowder), des conceptions des enseignants
sur la démonstration, et des normes
d‚argumentation dans la classe (Yackel & Cobb)
seront examinées dans la perspective de leur
contribution à la conceptualisation du rôle du
maître. Dans une troisième partie, je
présenterai mon travail de thèse dans le cadre
duquel j‚ai proposé de conceptualiser le travail
de l‚enseignant comme la juxtaposition de deux jeux :
un jeux mathématique et un jeux didactique qui sont
régulés par des systèmes de normes
différents qui sont à la base de la
négociation d'un probable contrat didactique qui
permet l'existence de situations de preuve.
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9.
Vanda Luengo
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L'apprentissage de
la preuve et le logiciel Cabri-Euclide.
Dans un premier temps, je présenterai le logiciel
Cabri-Euclide, en montrant quelles analyses didactiques ont
étés prises en compte dans sa conception.
Nous travaillerons ensuite sur la
comparaison des preuves d'élèves produites sur
papier et la reproduction avec Cabri-Euclide. Cela nous
permettra d'étudier la distance des deux
démarches et de mettre en évidence les
contraintes imposées par les deux
approches.
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10.
Alessandra Mariotti
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Le problème de
la construction peut engager des significations
différentes selon la relation -- implicite ou
explicite -- qui s'établit entre le dessin et la
figure géométrique. Le sens théorique
d'un problème de construction ne se présente
pas immédiatement, au contraire, l'aspect pratique du
dessin prend le dessus sur le monde des
théorèmes géomètriques.
Dans l'analyse que l'on va proposer on
essaiera de décrire comment on a organisé the
"champ d'expérience des constructions
géométriques dans le micromonde Cabri" pour
realiser le passage du niveau pragmatique au niveau
théorique de la construction. L'interaction avec la
machine a lieu par l'intermédiaire de commandes d'un
"menu" et reflète une intention qui est en même
temps figurative et conceptuelle: la figure de Cabri peut
être contrôlée seulement par le
contrôle conceptuel des relations
géométriques qui la déterminent. Par
conséquent, la résolution des problèmes
de construction avec Cabri comporte non seulement
l'utilisation des capacités de ce logiciel, mais
aussi l'acceptation du système
"logique" qui prévoit la solution d'un
problème de construction de son intérieur. En
d'autres termes, la validation d'un problème de
construction posé dans un environnement Cabri, doit
être compris en termes de "figures de Cabri". Ce
critère de validation, qui ne dépend pas de
l'aspect du produit même, mais au contraire en est
complètement indépendant, peut être
accepté et utilisé seulement à la
condition que l'attention soit détournée du
dessin produit et focalisée sur le
procédé même de construction.
Le problème de la construction, tel
qu'il est posé et résolu en environnement
Cabri prend une signification nouvelle par rapport à
ce qui apparaît spontanément. Du point de vue
du parcours didactique suivi dans l'expérimentation,
l'évolution du sens de la construction
géométrique correspond à l'introduction
des étudiants dans le monde théorique de la
géométrie: la comparaison entre la
construction acceptable et la proposition
démontrée dans la théorie se
présente comme un "axe portant" de
l'expérience éducative, sur laquelle notre
travail didactique se concentre.
Afin de percevoir le statut
théorique du problème de la construction, la
référence au micromonde
Cabri-géométre et à ses
caractéristiques spécifiques est apparue
être déterminante: la machine a sa propre
logique qui peut être dominée et être
rendue explicite. La tentative de chercher une justification
dans le micromonde (dans ce cas un sous-ensemble particulier
des commandes de Cabri), c'est-à-dire une solution
dans le système des propriétés
établi avec les étudiants, est le
résultat de l'activité au sein de laquelle le
sens théorique d'une construction émerge. En
accord avec ce changement de signification du
problème de la construction on s'attend à ce
que la signification de la "justification" change elle
aussi, ce qui donnera la base pour le développement
de l'idée de justification théorique et, en
général, de théorème.
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11.
Pilar Orus
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Une contribution
à l'étude des processus de validation:
l'argumentation et le raisonnement à l'école
primaire
Ce travail approfondi l'étude sur le raisonnment
des élèves dans la relation didactique,
abordé dans notre thèse en 1992, en utilisant
deux nouveaux axes d'analyse:
- Le
rôle des ostensifs dans l'analyse de certains
aspects du travail logique des élèves dans
l'argumentation, le raisonnement et dans la gestion du
contrat didactique , travail que nous avions juste
ébauché à la IX école
d'été avec M. Bosch.
- La thèse
de Durand-Guerrier (1996), selon laquelle la logique de
référence pertinente pour analyser le
raisonnement mathématique est le calcul des
prédicats , et particulièrement ses apports
sur les énoncés contingents.
A l'aide de ces
nouveaux outils nous allons revisiter différentes
tâches proposées dans les situations et jeux
sur la logique et la classification que nous avions
élaborées et observées au COREM.
Dans ce travail, nous allons montrer
quelques exemples de négociation didactique dans la
scolarité obligatoire, de l'écart
supposé entre la logique naturelle et la logique
formelle, entre l'argumentation et les preuves.
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12.
Jullien Rolland
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Les
mathématiques discrètes au service de
l'apprentissage de la modélisation et de
l'implication
Nous questionnons le rapport à la preuve à
partir des deux entrées que sont la
modélisation et l'implication. Nous commençons
par montrer comment l'activité de
modélisation, fondatrice au plan scientifique, se
réduit au mieux à unexercice de "traduction"
d'un modèle (dont l'énoncé fournit la
description) à un autre (suggéré par la
notion à l'étude), et dont
l'établissement par simple "complétion" est
seul à la charge de l'élève. De cet
état de faitdécoule une incapacité
à modéliser sans s'appuyer sur des types
canoniques et des stratégies adaptatives (comme la
reconnaissance de marqueurs langagiers au sein de
l'énoncé).
Nous nous intéressons alors
à l'implication et plus précisément
à la distinction entre Condition Nécessaire et
Condition Suffisante. Des études empiriques, nous
permettent de montrer l'apparente détresse devant
laquelle les étudiants semblent plongés face
à des exercices de logique
élémentaires, détresse qui trouve une
première explication avec l'analyse des programmes et
manuels.
Nous proposons alors, à partir
d'exemples, de montrer le lien qui se noue entre
modélisation et distinction CN/CS à travers la
gestion de l'information et de vérifier la pertinence
de situations issues des mathématiques
discrètes pour travailler ces notions.
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