La lettre de la Preuve

ISSN 1292-8763

L'argumentation en question

I. l'émergence d'une problématique de l'argumentation

L'intérêt pour l'argumentation est apparu comme un intérêt pour des formes de raisonnement qui échappent aux normes et aux schémas logiques, et qui surgissent spontanément dès qu'il y a débat avec quelqu'un. Cette émergence on peut la voir aussi bien en dehors des mathématiques que dans l'enseignement des mathématiques. Quelles en sont les principales caractéristiques ?

1. En dehors des mathématiques

Il y a d'abord eu la redécouverte du caractère irréductible et irremplaçable des langues naturelles par rapport aux langues formelles pour remplir, de manière économique, la fonction de communication entre individus. Cela a commencé avec Wittgenstein qui, à partir de 1930, a réagi contre toute la philosophie commandant les Principia Mathematica de Russell et Whitehead (1910). Et on connaît toute l'approche pragmatique des discours en langue naturelle qui en a résulté par la suite (Searle 1969, Ducrot 1972). Il y a eu ensuite l'intérêt porté à toutes les situations où il ne s'agit plus seulement de communiquer mais de convaincre en justifiant. Ici, les ouvrages de Perelman (1958) et de Toulmin (1958) ont marqué un point de départ. Cela a conduit, entre autres, à étudier les formes de contradiction (Grize 1983) qui peuvent être mises en oeuvre dans les débats, et à souligner le caractère dialogique des raisonnements conduits pour convaincre (Grize 1996).

2. Dans l'enseignement des mathématiques

Le modèle de Piaget sur le développement du raisonnement chez l'enfant et l'adolescent (1957) a longtemps été la référence pour analyser les problèmes d'apprentissage des mathématiques au niveau du collège. Du moins jusqu'au milieu de la décennie 70-80. Il accordait une place essentielle à l'implication (le "si...alors..") et relativisait le rôle du langage dans le développement du raisonnement propositionnel (les "opérations formelles"). Mais très vite un tel modèle s'est révélé inadapté. Il ne permettait pas d'analyser les difficultés rencontrées par les élèves lorsqu'il s'agissait de démontrer. Et il ne permettait pas davantage de prendre en compte les possibilités ouvertes par le travail en groupe : des activités de recherche devenaient possibles comme mode d'enseignement des mathématiques (Glaeser 1973) et les interactions entre élèves pouvaient être prises comme un des facteurs d'apprentissage. Le travail de Nicolas Balacheff sur la preuve et la démonstration au collège (1982) a été le premier à prendre en compte cette nouvelle situation. Il proposait une approche plus complète de l'initiation à la preuve, en partant du travail de recherche sur un problème. C'est dans cette nouvelle perspective que l'on a commencé à s'intéresser aux formes d'argumentation des élèves qui apparaisent lors de la résolution d'un problème. Et cela a conduit à se demander si cela n'était pas le chemin pour découvrir la démonstration.
   Retenons de ce flash-back que la problématique de l'argumentation se situe au point de convergence d'une double reconnaissance. Celle du rôle important de la communication et des interactions sociales dans l'acquisition des connaissances -- ce qui conduit ipso facto à reconnaître l'importance de la langue naturelle. Et celle du lien étroit entre preuve et conviction, ce qui conduit également à privilégier la communication pour favoriser la confrontation des points de vue.

II. Deux notions essentielles pour analyser les démarches d'argumentation : argument et discursivité.

1. Une première notion est celle d'argument.

Le titre de l'ouvrage de Toulmin donne une excellente caractérisation de l'argumentation : The Uses or Arguments.
   La notion d'argument semble évidente. Elle mérite cependant qu'on s'y arrête un peu. On considère comme argument tout ce qui est avancé, ou tout ce qui est utilisé, pour justifier ou pour réfuter une proposition. Cela peut être l'énoncé d'un fait, un résultat d'expérience, voire simplement un exemple, une définition, le rappel d'une règle, une croyance communément partagée ou encore l'explicitation d'une contradiction... Ils prennent valeur de justification quand quelqu'un les utilise pour dire "pourquoi" il accepte ou rejette une proposition. Un argument est la réponse à la question pourquoi "énonces-tu, crois-tu... cela ?"
   Comme on le voit la notion d'argument est une notion purement fonctionnelle. Mais, contrairement a ce que pensait Toulmin (1958, p.99-105) qui avait assimilé l'argument au modèle du modus ponens (pas de déduction) en l'aménageant avec des "qualifiers" et des possibilités de restriction, cette notion est structurellement indéterminée et, peut-être, a priori indéterminable. Car ce qui peut prendre valeur et force d'argument ne dépend pas seulement du domaine de connaissance (mathématiques, droit, histoire, politique..) mais aussi du contexte particulier qui motive le recours à des arguments. Par exemple, lors de la recherche de la solution d'un problème, une simple question peut avoir valeur ou force d'argument pour écarter une idée. Ce point est important. Pour le voir il suffit de se demander si un théorème peut être considéré comme un argument. La réponse est moins évidente qu'on ne pourrait le croire. Si l'utilisation des théorèmes est centrale dans la résolution de problèmes comme dans les preuves, leur utilisation n'est pas celle d'un argument mais celle d'un "outil". On ne peut présenter un théorème comme un argument qu'à condition de vouloir justifier une proposition comme conclusion nécessaire à partir d'hypothèses. Et l'expérience montre que, pour la majorité des élèves, cette utilisation des théorèmes soulève des difficultés sérieuses. En fait, un théorème est structuralement très déterminé alors qu'il n'a qu'un sens fonctionnel réduit à la seule organisation de déductions valides ou au développement de calculs.
   La notion d'argument est une notion plus globale que celle de théorème et elle implique que l'on prenne en compte deux dimensions. Parler d'argument c'est d'abord se référer au choix d'un sujet pour atteindre un but déterminé. C'est ensuite se référer au contexte de production de l'argument. Un contexte de production se détermine en fonction de deux points. D'une part il y a ce qui motive le recours à des arguments : peser sur le sens d'une décision à prendre, résoudre un conflit d'intérêts, résoudre un problème présentant des contraintes techniques ou logiques. D'autre part il y a l'enjeu : convaincre autrui ou, au contraire, diminuer les risques d'erreur ou d'incertitude dans le choix d'une démarche. En dehors de son contexte de production, un argument perd souvent sa "force". Et, de toutes façons, la force d'un argument est variable. Aussi on peut avoir besoin de recourir à plusieurs arguments pour emporter la conviction.
   En mathématiques, ou dans les sciences, le contexte de production est radicalement différent que dans les autres secteurs de l'activité sociale où l'on est conduit à argumenter. En mathématiques, le motif et l'enjeu de l'argumentation sont les contraintes propres au problème à résoudre. Paradoxalement on pourrait dire que ces contraintes constituent un invariant dans la communication. Car ce sont les contraintes du problème qui déterminent le choix des arguments et non pas d'abord les croyances du destinataire. La force d'un argument va d'abord dépendre de son adaptation à la situation et non plus de sa résonance dans l'univers de l'interlocuteur : il s'agit de s'assurer que la solution "marche" ou peut "marcher". Nous parlerons pour cela d'argumentation heuristique. Mais lorsqu'il s'agit de convaincre quelqu'un pour une décision à prendre, pour résoudre un conflit d'intérêts ou pour obtenir un consensus sur une question, il y a comme un inversion de priorité : on tient compte d'abord des convictions de l'interlocuteur. Nous parlerons alors d'argumentation rhétorique.

2. La deuxième notion fondamentale est celle de discursivité.

En effet, une argumentation ne peut pas se réduire à l'emploi d'un seul argument. Elle implique que l'on puisse évaluer un argument, lui opposer d'autres arguments. Cela correspond à la dynamique de n'importe quelle situation de recherche ou de débat. Les arguments prennent toujours une place dans un discours, au sens très large de ce terme, c'est-à-dire dans un suite successives d'opérations mobilisant un système sémiotique. En outre les argumentations susceptibles de convaincre de la justesse d'une proposition ne relèvent pas toujours d'un raisonnement. Elles peuvent consister en une explication, c'est-à-dire décrire le fonctionnement d'un système et y montrer la place de ce que la proposition à justifier énonce. Ainsi, la production d'arguments, dans l'argumentation heuristique, se fait d'abord au niveau d'un travail sur des cas particuliers ou sur des exemples. Car, sur des cas particuliers, on peut entrevoir comment les choses fonctionnent.
   Prenons la relation énoncée dans le théorème de Pythagore. Pour convaincre de la justesse de la proposition, on peut procéder à des applications numériques variées et ou faire constater que la relation est toujours vérifiée quelles que soient les longueurs des côtés d'un triangle rectangle. D'une façon plus intéressante, on peut effectuer l'une des nombreuses reconfigurations possibles des carrés construits en relation avec chacun des côtés d'un triangle rectangle (Padilla 1992, p. 33-38, 197-218). Ces vérifications numériques ou ces reconfigurations géométriques ne constituent pas stricto sensu, une démonstration, mais elles sont des arguments qui vont convaincre de la justesse de la proposition de Pythagore. Et si le sujet est conduit à changer de registre de représentation, il peut justifier la proposition de Pythagore en décrivant, avec les expressions du langage ordinaire, ce qu'il a observé des transformations figurales entre carrés et triangles.
   Pouvant mobiliser de multiples formes de discours, et pas seulement celle du raisonnement, l'argumentation implique toujours la mobilisation de la langue naturelle. Même lorsque les arguments utilisés relèvent d'autres registres de représentation! Car, alors, il faut expliciter pourquoi des transformations figurales ou des calculs sont considérés comme des réponses à un problème posé. Nous retrouvons ici ce qui a été l'intuition forte de tous ceux qui de Wittgenstein à J.B. Grize ont essayé de comprendre les mécanismes de l'argumentation en relation avec ces deux pôles que sont la conviction d'un sujet et la communication entre sujets. Mais insister sur la langue naturelle n'est cependant pas suffisant. Le point décisif est ailleurs : il y a deux grands mécanismes de développement d'un discours dans une langue naturelle, alors que les langues formelles n'en permettent qu' un seul. On peut s'en faire une première idée en considérant ces distinctions :

Rapport entre une proposition donnée et une autre proposition

Rapport de justification (constitutif d'un argument) la première proposition est donnée comme "THESE" raisons relatives à l'interlocuteur   argumentation réthorique raisons relatives aux contraintes de la situation ou du problème argumentation heuristique Rapport de dérivation (constitutif d'un pas de déduction) la première proposition est donnée comme "HYPOTHESE" ou "PREMISSE" direct: instanciation inférence sémantique     logique d'une langue   par énoncé tiers théorème, définition      démonstration

Ces distinctions recouvrent des fonctionnements cognitifs très différents. C'est pourquoi elles deviennent essentielles pour étudier, dans une perspective d'apprentissage, toutes les questions relatives aux rapports entre argumentation et démonstration.

III. Quelles entrées pour une étude systématique de
l'argumentation heuristique ?

Nous n'avons évidemment pas la prétention d'être exhaustif. Nous en indiquerons quatre dans le but de souligner la complexité des phénomènes relatifs à une problématique de l'argumentation dans le cadre d'un enseignement et d'un apprentissage des mathématiques.

1. Le contexte de production des arguments

Il y a différents facteurs qui déterminent le contexte de production d'un argument : la position de l'interlocuteur vis-à-vis de celui qui argumente (coopération, conflit...) le motif de l'argumentation (prendre une décision, trouver la solution d'un problème...) et son enjeu (faire changer quelqu'un de point de vue, diminuer les risques d'erreurs ou d'impasses dans un choix...). Dans le cas de l'argumentation en mathématique, le contexte de production est déterminé par le problème à résoudre. C'est certainement là un des points de consensus les plus forts entre les chercheurs en didactique. Il suffit de regarder la fréquence de la locution "résolution de problème" dans les différentes communications de travaux en didactique. Il nous semble cependant que la notion de problème reste encore un notion trop générale et que le choix d'un problème mathématique précis pour observer des élèves, reste souvent trop contingent. Entre l'extrême généralité de la notion de problème et le caractère, quoi qu'on en dise, toujours particulier des problèmes posés, il n'existe encore aucun niveau intermédiaire d'analyse. Précisons : l' analyse du problème choisi est faite en aval, c'est-à dire en fonction de sa solution ou de ses solutions, et non pas en amont, c'est-à-dire en fonction des variations possibles des données et des variations de distance qui en résultent entre l'énoncé et l'initialisation des premiers traitements mathématiquement pertinents. Plus radicalement, on ne dispose pas d'une classification élémentaire des problèmes qui permette de comparer entre eux des problèmes purement mathématiques et des problèmes d'application des mathématiques, du point de vue des processus d'argumentation heuristique. Et la comparaison pourrait aussi devoir se faire en variant les domaines mathématiques : géométrie, arithmétique, probabilités, algèbre.

2. Les modes d'expression : parole ou écriture

Les capacités d'appréhension et le niveau de compréhension accessibles sur une question (topic) ne sont pas du tout les mêmes dans les positions alternantes parole-écoute et dans celles rédaction- relecture (on ne se lit pas, on se relit). Jusqu'à ces dernières années on a peu prêté d'attention à l'importance de ces différences que l'on effaçait en parlant de "langage" et de "pratiques langagières". Pourtant le passage d'un mode oral d'expression à un mode écrit d'expression est complexe et il présente de sérieuses difficultés même au niveau du collège. En effet ce passage requiert une "réorganisation" ou une "restructuration" de l'expression, ainsi que Vygotski l'avait expliqué (1985, p. 360-368, 376).
   Cela n'est pas sans conséquence pour une étude de l'argumentation. L'argumentation rhétorique se développe surtout selon le mode oral d'expression. Le problème qui se pose est de savoir si l'argumentation heuristique est liée de façon privilégiée à l'un de ces deux modes. Ce qui nous renvoie à la question de savoir si la pratique des mathématiques, aujourd'hui, peut être purement orale. Mais, souvent pour des raisons pédagogiques et didactiques, on privilégie des situations de coopération et de discussion entre élèves pour le travail de résolution de problème. Ce qui revient évidemment à privilégier le mode oral d'expression. Quels peuvent être alors les fonctions et l'apport d'un passage à l'écriture ? Remplir une fonction de communication et d'institutionnalisation, ce qui reste dans le prolongement d'un mode oral d'expression ou, au contraire des fonctions de traitement et de contrôle, y compris pour les textes de preuve, ce qui implique une rupture avec le mode oral d'expression ? Comme on le voit derrière cette question, c'est tout le problème des interférences entre le contexte une argumentation rhétorique et celui de l'argumentation heuristique qui est posé. Peut-être est-ce l'un des apports d'un environnement informatique que de permettre une dissociation complète de ces deux types de contextes.

3. Les opérations discursives mobilisées

Nous avons insisté sur le caractère fondamental de la notion de discursivité. Elle implique nécessairement la mobilisation d'un "langage" naturel ou formel. Existe-t-il un langage mathématique comme on le dit quelque fois ? Cette question ne nous semble pas être une question bien posée. Le problème n'est pas celui de la langue utilisée mais celui des opérations discursives que l'on peut faire avec une langue. Toutes les opérations discursives peuvent être regroupées autour de quatre grandes fonctions discursives : désigner des objets, dire quelque chose de ces objets qui prenne ipso facto une valeur épistémique (énoncer une proposition), générer d'autres propositions à partir d'une proposition donnée et, enfin intégrer à la proposition énoncée sa valeur de prise en charge épistémique par l'énonciateur. Or ce qui est remarquable c'est la tendance, quand on parle de langage en mathématiques, à ne considérer que quelques une des différentes opérations discursives. Les pages que Freudenthal (1978) a consacrées à la distinction de trois niveaux de langage en mathématiques (niveau ostensif, niveau fonctionnel et niveau des conventions symboliques permettant de prendre en compte des variables) nous paraissent révélatrice d'une attitude encore très répandue : la réduction du langage à la seule fonction discursive de désignation d'objets.

4. Argumentation versus démonstration

C'est la question de l'homogénéité des démarches durant tout le déroulement complet d'une activité mathématique : depuis les premières phases de recherche jusqu'à l'établissement de la preuve mathématique de la solution trouvée, c'est-à-dire jusqu'à sa démonstration ou sa "preuve formelle" selon une locution dont l'emploi a souvent une connotation négative. On peut envisager cette question d'un strict point de vue mathématique et postuler l'homogénéité des démarches : dans ce cas on pourra affirmer une continuité cognitive entre argumenter, expliquer et démontrer. Mais si on envisage la question d'un point de vue cognitif, la réponse est très différente. Et le point de vue cognitif ne peut pas être négligé lorsqu'on envisage l'apprentissage des mathématiques par de jeunes élèves, chez qui les différents registres de représentation que la pratique des mathématiques mobilise sont encore peu, ou pas du tout, coordonnés.
   Et cela conduit à soulever deux questions, pour lesquelles nous ne disposons pas encore suffisamment de données d'observation vraiment exploitables.

- En référence au travail du mathématicien, on insiste beaucoup sur le moment de l'élaboration d'une conjecture. Mais, au moins pour les élèves, les arguments qui conduisent à dégager et à maintenir une conjecture permettent-ils également de trouver les moyens sa preuve ?
- Les capacités de contrôle qu'un élève peut avoir de la pertinence des arguments produits lorsqu'il cherche à démontrer une conjecture formulée, et retenue, sont-elles considérablement développées lorsqu'il a compris les différences de fonctionnement discursif entre les "preuves formelles" et les argumentations rhétoriques qui, elles, sont plus familières ou plus spontanées ?

On voit donc la complexité des problèmes liés à l'étude des démarches d'argumentation. Nous serions presque tentés de dire qu'il est plus facile de faire accéder les élèves à la démonstration qu'à une certaine maîtrise de l'argumentation, du moins de l'argumentation rhétorique. Mais terminons en attirant l'attention sur une situation paradoxale de l'enseignement des mathématiques. L'importance reconnue à la communication et aux interactions sociales en didactique conduit nécessairement à donner une priorité de fait au langage naturel. Or en même temps on ne veut retenir que des modèles cognitifs d'apprentissages dans lesquels le rôle du langage, du moins du langage naturel, est mis au second plan. L'un des intérêts d'une problématique de l'argumentation est de bien mettre en lumière cette situation paradoxale.

Références

Balacheff N. (1982) Preuve et démonstration en mathématiques au collège. Recherches en didactique des mathématiques. 3(3) 262-306
Ducrot O. (1972) Dire et ne pas dire. Paris : Hermann
Freudenthal H. (1978) Weeding and Sowing. Dordrecht : Reidel Publishers
Glaeser G. (1973) Le livre du problème, I, Pédagogie de l'exercice et du problème. Lyon : Cedic
Grize J. B., Piéraut-le Bonniec G. (1983) La contradiction, essais sur les opérations de la pensée. Paris : P.U.F.
Grize J. B. (1996) Logique naturelle et communications. Paris : P.U.F.
Piaget J., Inhelder B. (1955) De la logique de l'enfant à la logique de l'adolescent. Paris : P.U.F.
Padilla V. (1990) L'influence d'une acquisition de traitements purement figuraux sur l'apprentissage des mathématiques. Thèse. Strasbourg : Université Louis Pasteur.
Perelman C., Olbrechts-Tyteca L. (1958) La nouvelle rhétorique. Traité de l'argumentation (2 volumes) Paris : P.U.F.
Searle J.R. (1969) Speech Acts. Cambride University Press
Toulmin S. (1958) The Uses of Argument. Cambridge University Press
Vygotski L.S. (1934). Pensée et langage (traduction française 1985 ). Paris : Editions sociales.