L'utilisation des quantificateurs universel
et existentiel en première année d'université, entre l'explicite
et l'implicite.
Faïza
Chellougui
Faculté
des Sciences de Bizerte - Tunisie
Resumé
Dans cette communication, nous présenterons une synthèse des
aspects théoriques de notre travail de thèse, ainsi que quelques
résultats expérimentaux. Ce travail s'inscrit dans le cadre de
recherches sur l'articulation entre logique et raisonnement mathématique
dans une perspective didactique.
Dans la première partie de notre exposé, nous présentons
les éléments d'une étude théorique sur le formalisme
mathématique, qui nous a fourni un cadre de référence pour
analyser les résultats d'une première expérimentation.
L'objectif de cette expérimentation est d'étudier, à travers
un exercice, la gestion des quantificateurs universel et existentiel entre l'explicite
et l'implicite, par des étudiants de première année universitaire.
Cette étude confirme la grande sensibilité des résultats
aux contenus, des difficultés dans la production d'un argument mathématique
et des phénomènes liés à la dépendance des
lettres variables. Ceci nous a conduit à approfondir nos analyses didactiques
en choisissant un objet sensible enseigné à l'université
il s'agit de la notion de borne supérieure. Cette étude fait l'objet
de la deuxième partie de notre exposé.
Dans la deuxième partie de notre exposé, nous présenterons
une formalisation logique des objets et des structures qui interviennent dans
la définition de l'objet borne supérieure. Notre travail illustre
la thèse de Quine selon laquelle l'enrégimentement des énoncés
dans le calcul des prédicats est la pierre de touche de la clarté
conceptuelle. Nous proposons une analyse des manuels et des notes de cours autour
de l'objet borne supérieure à la lumière de l'étude
précédente. Les résultats montrent la variété
des choix de présentations pour définir des objets et des structures
mathématiques, révélant une sous estimation de cette complexité
et laissant prévoir des difficultés de manipulation des définitions
par les étudiants. Ceci nous a conduit à mettre en place une deuxième
expérimentation avec des binômes d'étudiants dans une situation
de résolution d'exercice et un entretien, autour de l'objet borne supérieure.
Cette étude a fait apparaître, d'une part, des phénomènes
didactiques liés à l'alternance des deux types des quantificateurs,
et d'autre part des difficultés dans la mobilisation de la définition
des objets et des structures qui illustrent un problème majeur dans le
processus de conceptualisation.
Chellougui F. (2004), L'utilisation des quantificateurs universel et existentiel
en première année d'université, entre l'explicite et l'implicite,
Thèse de doctorat en co-tutelle entre Lyon et Tunis, Soutenue à
l'Université Claude Bernard Lyon 1.
Durand-Guerrier V. & Arsac G. (2003), Méthodes de raisonnement et
leurs modélisations logiques : Spécificité de l'analyse.
Quelles implications didactiques ?, Recherches en Didactique des Mathématiques,
Vol.23, n°3, pp.295-342. La Pensée Sauvage Editions.
Quine W.V.O. (1970), Philosophy of logic, Prentice-Hall, Traduction française
Aunbier, 1975.
Schwartz L. (1991), Analyse I, Théorie des ensembles et topologie, Hermann