L'utilisation des quantificateurs universel et existentiel en première année d'université, entre l'explicite et l'implicite.

Faïza Chellougui
Faculté des Sciences de Bizerte - Tunisie

Resumé
Dans cette communication, nous présenterons une synthèse des aspects théoriques de notre travail de thèse, ainsi que quelques résultats expérimentaux. Ce travail s'inscrit dans le cadre de recherches sur l'articulation entre logique et raisonnement mathématique dans une perspective didactique.
Dans la première partie de notre exposé, nous présentons les éléments d'une étude théorique sur le formalisme mathématique, qui nous a fourni un cadre de référence pour analyser les résultats d'une première expérimentation. L'objectif de cette expérimentation est d'étudier, à travers un exercice, la gestion des quantificateurs universel et existentiel entre l'explicite et l'implicite, par des étudiants de première année universitaire. Cette étude confirme la grande sensibilité des résultats aux contenus, des difficultés dans la production d'un argument mathématique et des phénomènes liés à la dépendance des lettres variables. Ceci nous a conduit à approfondir nos analyses didactiques en choisissant un objet sensible enseigné à l'université il s'agit de la notion de borne supérieure. Cette étude fait l'objet de la deuxième partie de notre exposé.
Dans la deuxième partie de notre exposé, nous présenterons une formalisation logique des objets et des structures qui interviennent dans la définition de l'objet borne supérieure. Notre travail illustre la thèse de Quine selon laquelle l'enrégimentement des énoncés dans le calcul des prédicats est la pierre de touche de la clarté conceptuelle. Nous proposons une analyse des manuels et des notes de cours autour de l'objet borne supérieure à la lumière de l'étude précédente. Les résultats montrent la variété des choix de présentations pour définir des objets et des structures mathématiques, révélant une sous estimation de cette complexité et laissant prévoir des difficultés de manipulation des définitions par les étudiants. Ceci nous a conduit à mettre en place une deuxième expérimentation avec des binômes d'étudiants dans une situation de résolution d'exercice et un entretien, autour de l'objet borne supérieure. Cette étude a fait apparaître, d'une part, des phénomènes didactiques liés à l'alternance des deux types des quantificateurs, et d'autre part des difficultés dans la mobilisation de la définition des objets et des structures qui illustrent un problème majeur dans le processus de conceptualisation.

Chellougui F. (2004), L'utilisation des quantificateurs universel et existentiel en première année d'université, entre l'explicite et l'implicite, Thèse de doctorat en co-tutelle entre Lyon et Tunis, Soutenue à l'Université Claude Bernard Lyon 1.
Durand-Guerrier V. & Arsac G. (2003), Méthodes de raisonnement et leurs modélisations logiques : Spécificité de l'analyse. Quelles implications didactiques ?, Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol.23, n°3, pp.295-342. La Pensée Sauvage Editions.
Quine W.V.O. (1970), Philosophy of logic, Prentice-Hall, Traduction française Aunbier, 1975.
Schwartz L. (1991), Analyse I, Théorie des ensembles et topologie, Hermann