Introducción
al estudio de la enseñanza del razonamiento y de la prueba:
las paradojas
por
Guy Brousseau
La enseñanza del razonamiento, y particularmente el razonamiento
lógico y matemático, plantea tanto al didacta, como al
docente, algunos problemas paradójicos bien conocidos: las dificultades
resultan esencialmente de tres órdenes de consideraciones, una
de origen metamatemática, una de orden psicológica y sociológica
y otra de orden didáctica.
i. La presentación "ortodoxa"
de los textos de matemáticas lleva a pensar que la lógica
formal (el modus ponens con, tal vez, algunos otros medios lógicos)
es la herramienta fundamental y necesaria de las matemáticas,
y que su objetivo es de mostrar la falta de contradicción de
su autor (consigo mismo y con las matemáticas conocidas). Muchos
profesores de matemáticas tienen tendencia en deducir de ello
que, puesto que los razonamientos matemáticos son los únicos
medios de establecer públicamente la verdad de un enunciado matemático,
estos razonamientos han de describir necesariamente, a su vez (o utilizarse
como modelo para describir), el pensamiento que construye correctamente
éstas, y por lo tanto que describan el pensamiento de las matemáticas
y de los alumnos. Comporta que quieren enseñar a pensar, y después
a razonar directamente como se demuestra, además de confundir
la actividad y el razonamiento matemático de los alumnos con
su producto cultural: el medio estándar de su comunicación.
Si por otra parte se admite que el funcionamiento natural del pensamiento
produce conocimientos exactos por los procesos (retóricos, heurísticos,
psicológicos …) que no se reducen a aquellos que resultan
de la investigación matemática paciente de las presentaciones
y de las notaciones más cómodas (por los matemáticos
y sus investigaciones), ¿cuáles son estos procesos, y
cómo realizarlos? o, ¿cómo hacer que se realicen?
Esta paradoja se acerca a la que encuentran los principiantes en lógica:
quisieran construir formalmente la lógica formal, es decir poseer
de ella una autogénesis, en la cual se podrían levantar
luego todas las ciencias. Tienen que desilusionarse pronto y aprender
de entrada a distinguir la lógica del constructor de la lógica
que construye para entrar convenientemente en el estudio de la lógica
matemática.
ii. Los humanistas deben de postular que
la "razón es la cosa más compartida en el mundo"
para fundar la universalidad de su filosofía. La idea que éstos
se hacen de un ser humano lleva a considerar que cada uno tiene que
disponer de un sistema personal con la ayuda del cual, en última
instancia, interpreta y evalúa lo que se le dice, y que cada
uno debe reconocer en el otro esta capacidad y este derecho. Cualquier
influencia (coerción, seducción, engaño, etc.)
que escapa al control de aquél que va a sufrirla, rebaja tanto
al que lo ejerce tanto como al que se somete a ello. La forma de controlar
las influencias es obviamente la "razón", la razón
común de ambos protagonistas y las razones propias de cada uno
de ellos. Así, el modo legítimo de influenciar al prójimo
es de convencerle, y de convencerle utilizando sus propios criterios
y conocimientos. Respectar al otro no es aceptar sus creencias sin examinarlas,
sino debatir sobre ello, si es necesario, según ciertas reglas.
Sin embargo, estar dotado de razón es una condición y
un preliminar indispensable, no sólo para cualquier enseñanza
de matemáticas, sino también para cualquier influencia
legítima y, por tanto, ¿lo sería en particular
para la educación?
En estas dos primeras preguntas el problema es comparable: ¿cómo
enseñar a un alumno "como razonar" si no lo sabe aún,
mientras que el razonamiento es justamente el medio que le es preciso
para entender y aprender lo que es un razonamiento? ¿cómo
enseñarle a aceptar únicamente conclusiones por el ejercicio
de su propio juicio, sin dejarse influenciar por otras causas mientras
que este juicio no está adquirido aún…?
iii. Las paradojas del aprendizaje "constructivista"
(obstáculos) y las del contrato didáctico (el docente
no puede desvelar lo que quiere que haga el alumno por sí mismo)
han sido puestas en evidencia por la teoría de las situaciones
didácticas en matemáticas. Son particularmente agudas
en el caso del aprendizaje del razonamiento. (Ejemplos:
- ¿Cómo procurar que el alumno se sienta "responsable"
de su respuesta a un problema, mientras que este problema le es propuesto
por su profesor, justamente porque este último piensa que, quizá
no lo sabría resolver? ¿Qué empresario aceptaría
un contrato del cual no sabe cómo cumplir?
- ¿El docente puede utilizar ciertos medios de enseñanza
- es decir, manipular causas de aprendizaje - que serían diferentes
a las razones de saber que el alumno deberá finalmente emplear?
Dicho de otro modo, ¿cuáles son los límites de
la manipulación del alumno por el profesor? Etc.
Más concretamente, el problema didáctico es diferente
según si se considera que el profesor "enseña un
saber" constituido, o si hace "entender" estos saberes
y "hace adecuar conocimientos y prácticas".
En el primer caso, basta con exponer el saber al alumno en un orden
que ahorra al máximo el tiempo didáctico y que respeta
la autoreferencia: los órdenes sistemáticos, racionales,
lógicos, o mejor, axiomáticos, realizan estas condiciones.
El profesor deja al alumno el cuidado "de comprender", aprender
y utilizar el saber que le es así destinado.
El segundo caso, al hacer bascular en las atribuciones del profesor,
las obligaciones "de hacer entender", "hacer aprender"
y "hacer utilizar" el contrato didáctico, parece más
conveniente al proyecto humanista. Pero, sobre todo si se interpretan
estas tres exigencias como equivalentes a "hacer producir el saber
por el propio alumno" y que se encomienda al profesor el cuidado
de imaginar cómo él puede obtener este resultado, el reto
choca entonces con las paradojas mencionadas anteriormente.
Ya que el profesor no puede modificar la presentación ortodoxa
de las matemáticas, no le queda más que intentar corregir
y completar la primera solución por coadyuvantes:
- por redundancias, repeticiones, comparaciones y otras analogías
que supuestamente hacen memorizar los textos;
- por "explicaciones", representaciones, ejemplificaciones,
comentarios y otros circunloquios por los cuales intentará vincular
los conocimientos de los alumnos a las de su exposición matemática
axiomatizada;
- por ejercicios y problemas más o menos "abiertos"
de los cuales espera que estimularán bastante bien una actividad
matemática más bien comparable a su modelo: la actividad
de los matemáticos;
- y/o sobre todo por dispositivos pedagógicos formales (no didácticos)
destinados a limitar o a combatir una de sus numerosas supuestas "malas
tendencias".
a hablar: lo que impide al alumno hacerlo él mismo
a hacer hablar el alumno en vez de hacerle actuar,
a enseñar en vez de dejar al niño desarrollarse de acuerdo
con su desarrollo espontáneo
a construir el saber según la cultura en vez de dejar al niño
construir "su" "saber" en toda creatividad, novedad
e inventiva
a concentrar sobre sí mismo la atención del alumno en
vez de devolverlo a la influencia beneficiosa de pequeños grupos
que trabajan libremente
a proponer temas escolares en vez de sacarlos del rico ámbito
de las actividades técnicas y sociales del entorno "natural"
del alumno.
a preferir temas escolares aburridos preferiblemente a empleos lúdicos
atractivos y por lo tanto instructivos
a elegir temas teóricos y consecuentemente inútiles
de preferencia a temas prácticos, por tanto inteligibles y
útiles
a establecer una relación entre el trabajo realizado por cada
alumno y el proyecto curricular que se le encargó, y así
desanimar a los alumnos, establecer entre ellos diferencias…
Algunas de estas reprobaciones tienen una fastidiosa propensión
a disuadir al profesor en hacer su labor.
Repercuten sin embargo - aunque "ingenuamente" desde el punto
de vista didáctico - sobre "observaciones" respetables
que provienen de otras disciplinas, pues el dilema queda planteado.
Así, su principal defecto es querer imponerse o justificarse
sin tener en cuenta la dimensión y las circunstancias didácticas.
Ningunas de estas prescripciones son válidas absolutamente y
en todas las circunstancias, ninguna es aplicable a cualquier saber
a enseñar, sin una conversión didáctica que toma
en cuenta la naturaleza y la especificidad del saber enseñado.
Todos los niños intentan influir en su entorno y, obligados en
pasar por la decisión de los adultos, desarrollan temprano estrategias
retóricas para satisfacer sus deseos. Es durante este período
cuando comienza a establecerse en ellos, a la vez:
- toda una jerarquía de medios de influencia, permitidos o prohibidos,
explícitos o inexpresables, en diversos tipos de interacciones;
- un directorio de formulaciones de las "normas" y de sus
violaciones;
- y la conciencia de su estado como ser humano que puede ejercer su
propia voluntad.
Por lo tanto, hay que emprender muy temprano la enseñanza a los
niños de la práctica de las "situaciones de validaciones
racionales". Son situaciones donde dos interlocutores cooperan
dialécticamente con el fin de establecer o de rechazar la verdad
de una aserción. Cooperan, pero sin concesión, uno proponiendo,
el otro oponiéndose al primero en cuanto vea la ocasión,
hasta la aceptación sincera de la evidencia.
Pero, ¿cuál es la clase de situaciones que puede exigir
y permitir el desarrollo de los distintos axiomas y teoremas de la lógica
e inducir a su toma de conciencia?
Guy Brousseau
¿Reacciones?¿Observaciones?
Las reacciones u observaciones a la contribución
de Guy Brousseau
se publicarán en la Carta de Otoño 2004.
©
G. Brousseau
©
por la traducción, Philippe R. Richard
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