Processus de preuve dans la pratique de l'enseignement - Analyses comparatives de l'enseignement des mathématiques en Allemagne et en France
Christine Knipping
Universität Hamburg, Université Joseph Fourier Grenoble
Résumé
Cette étude empirique porte sur les processus de preuve dans la pratique
quotidienne de l'enseignement de la géométrie, en Allemagne
et en France. Nous présentons des observations et des analyses comparatives
d'unités d'enseignement consacrées au théorème
de Pythagore. Des travaux épistémologiques et didactiques indiquent
que justification et développement du savoir ne peuvent isolés
l'un de l'autre dans une preuve, ni séparés du contexte de sa
genèse. Cela suggère une compréhension dialectique des
preuves et c'est en effet le choix théorique qui a été
fait. Dans cette optique il a d'abord été procédé
à l'analyse du contexte mathématique des séquences observées,
puis à l'analyse des argumentations qu'on y trouve. Les deux analyses,
bien que menée indépendamment l'une de l'autre et sans tenir
compte a priori du pays ou de la tradition dans lesquels le cours s'inscrit,
mènent à la même répartition des preuves en deux
groupes, partition qui vient en fait recouper la partition Allemagne-France.
Ces différences renvoient à des modes différents de développement
et de justification du savoir. Le type de processus de preuve reconstruit
dans les cours allemands observés, peut être associé à
une compréhension contemplative du savoir, le second type, rencontré
dans les cours français, à une compréhension discursive.
Pendant et par ces processus de preuve, ce sont donc des savoirs mathématiques
différents et des pratiques différentes du savoir que les élèves
apprennent. La comparaison entre les cours allemands et les cours français
est sur ce point particulièrement éclairante. Le travail présenté
offre un point de départ méthodologique et un matériau
pour mener une réflexion sur les contenus et les méthodes des
processus d'enseignement, en particulier pour étudier la logique propre
à un cours. Analyses de contexte et analyses de l'argumentation, ainsi
que le principe d'une étude comparative, fournissent un cadre pour
étudier les pratiques et les processus de preuve dans l'enseignement
au quotidien, ou leurs implications didactiques.
Mots clés
Didactique, mathématiques, observations naturalistes, pratique de l'enseignement,
étude comparative, preuve, démonstration, théorème
de Pythagore, processus d'enseignement et d'apprentissage, géométrie,
argumentation, justification, échanges dans la classe, aspects culturels,
différences interculturelles, Allemagne, France, enseignement secondaire.
Abstract
This empirical study reports on proving processes in everyday classroom practices
in French and German geometry teaching. Classroom observations and comparative
analyses presented in the study focus on units in which the Pythagorean Theorem
was taught. The theoretical framework is based on epistemological and didactical
research that asserts that justification and development of knowledge cannot
be separated from each other within proving, nor can they be separated from
their context of origination. This suggests a dialectic understanding of proofs
which is in fact the theoretical basis of this study. From this perspective
the empirical study first addresses the mathematical contexts of the proving
processes in the units observed and then analyses argumentations within these
processes. These two sorts of analysis were carried out independently and without
taking into account a priori the cultural background and the teaching traditions
within which the lessons were inscribed. In spite of this, the distinctions
which emerged from the analyses led to a grouping that separates the French
classes from the German classes. The differences identified in the classroom
proving processes correspond to different types of justification and of knowledge
development. The type of proving processes reconstructed from the observations
of the German classes can be associated with a contemplative kind of understanding
of knowledge, while the type reconstructed from the French lessons can be understood
as discursive. Therefore, through the proving processes the students learn different
kinds of mathematical knowledge and different knowledge practices. In this respect
the comparison of German and French lessons is particularly revealing. The research
presented offers a methodological starting point and empirical data for reflecting
on the content and methods of proving processes in class, particularly the logic
of classroom situations. Context analyses and argumentation analyses as well
as the comparative approach build a framework for studying practices and processes
of proving in everyday teaching and their didactical implications.
Keywords
Didactics of mathematics, classroom research, comparative studies, proof, proving,
Pythagorean Theorem, teaching-learning processes, geometry, argumentation, justifying,
classroom conversation, cultural aspects, intercultural differences, France,
Germany, secondary education