¿Renacer á la
prueba en las matemáticas escolares en los Estados
Unidos?
Eric Knuth
University of Wisconsin, USA
No está tan lejos la época en la que en los
Estados Unidos se esperaba que la demostración
participara de la educación matemática de
todos los estudiantes. En efecto, una característica
de las matemáticas modernas de finales de los
cincuenta y comienzos de los sesenta fue el énfasis
en el "rigor en la presentación de las ideas
matemáticas, particularmente en demostraciones
rigurosas" (Hanna, 1983, p. 1). Sin embargo, tal reforma
curricular recibió su cuota de críticas debido
a la proliferación de demostraciones en los libros y
a la manera como la reforma fue implementada en la
práctica. En gran medida debido a esas
críticas, y considerando los efectos que el
curriculum produjo en las concepciones de la prueba (y de
las matemáticas en general) de los estudiantes (y de
los docentes), el documento Curriculum and Evaluation
Standards for School Mathematics (producido en 1989 por el
National Council of Teachers of Mathematics [NCTM])
restó énfasis a la demostración en la
escuela, prefiriendo en su lugar hablar de razonamiento (J.
Kilpatrick, comunicación personal, Marzo 1999). Como
consecuencia, los estudiantes experimentan una cantidad
limitada de encuentros con la demostración en la
escuela&emdash;no es sorprendente el hecho de que ellos
hallen difícil el estudio de la demostración
(ver Chazan, 1993; Sowder & Harel, 1998; Usiskin,
1987).
Esta ausencia de la demostración no
ha sido pasada por alto, sin embargo. De hecho, ha sido un
blanco de las críticas. Wu (1996) indicó que
la poca cantidad de pruebas fuera de la geometría
es
Un defecto evidente en la matematica que
se enseña en las escuelas de hoy en día
el hecho de que fuera de la geometría casi no se
pruebe nada. Comparada con otras anomalías en
educación, ésta es por cierto más
anómala que otras por cuanto presenta una
imágen totalmente falsa de las
matemáticas.
De modo similar, Schoenfeld (1994)
sugirió, "La demostración no es una cosa que
pueda separarse de las matemáticas de la manera en la
que nuestros curricula lo hacen; se trata de una componente
esencial al quehacer matemático, a la
comunicación y al registro de los conocimientos
matemáticos" (p. 76). Demostrando conciencia de tales
críticas, y sin duda tomando en cuenta la importancia
central de la demostración en matemáticas, las
corrientes reformistas más recientes invitan cambios
importantes con respecto a la demostración tanto en
el curriculum como en las prácticas docentes.
En contraste con el status de la prueba en
los estándares curriculares anteriores (vgr., NCTM,
1989), la posicion de la prueba se ha elevado de manera
significativa en los documentos más recientes (por
ejemplo en NCTM, 1998&emdash;un documento que intenta ser la
guía de las revisiones curriculares en Estados Unidos
durante el milenio que empieza). No solo la prueba se ha
convertido en un Standard propiamente dicho (Mathematical
Reasoning and Proof), sino que además ha recibido un
rol mucho más prominente a través del
curriculum de toda la escolaridad. Se espera que la prueba
sea parte de las experiencias de todos los estudiantes. En
particular, los Principles and Standards for School
Mathematics (NCTM, 1998) recomiendan que desde pre-K a grado
12:
Los planes de estudios en matemáticas
deberán concentrarse en el aprendizaje del
razonamiento y la construcción de pruebas de tal
suerte que todos los estudiantes --
- Reconozcan que el razonamiento y la
prueba son componentes esenciales y poderosas de las
matemáticas
- Formulen e investiguen conjeturas
matemáticas
- Produzcan y evalúen argumentos
y demostraciones matemáticas, y
- Seleccionen y usen varios tipos de
razonamiento y métodos de prueba según
éstos sean apropiados (p. 80)
Al leer esas recomendaciones se ve claramente que
nuevamente se espera que la prueba tenga un papel
preponderante en las matemáticas escolares en los
Estados Unidos. Pero subsiste una pregunta
importante&emdash;una que tiene serias implicaciones para
que la demostración se implemente exitosamente en las
matemáticas escolares: ¿Están preparados
los docentes para poner en práctica esas
recomendaciones?
Sugerencias didácticas tendientes a
aumentar el rol de la prueba en la clase, y consecuentemente
mejorar las concepciones de la prueba en los estudiantes,
requieren mucho del docente (Chazan, 1990). Sin embargo, la
formación de docentes en matemáticas,
tradicionalmente, no ha preparado adecuadamente a los
docentes para implementar las metas grandiosas sugeridas en
los documentos de reforma curricular (Ross, 1998). Esta
preparación inadecuada es particularmente
problemática con respecto a la prueba si se
consideran las concepciones limitadas que tienen de la
prueba los futuros docentes (véase Goetting, 1995;
Harel & Sowder, 1998; Jones, 1997; Martin & Harel,
1989; Simon & Blume, 1996). Más aun, si
concebimos a los docentes como individuos que enseñan
matemáticas en la escuela, se puede decir que no se
ha investigado suficientemente las concepciones de la prueba
de ellos; lo que se ha hecho es investigar las concepciones
de la prueba en los docentes concebidos como individuos que
saben matemáticas.
En este artículo examino brevemente
los resultados de un estudio que fue diseñado para
investigar la pregunta precedente y asimismo identificar
áreas en las cuales la formación docente
necesita concentrarse para que las recomendaciones de la
reforma puedan ponerse en práctica exitosamente
(véase Knuth, 1999, 2000a, 2000b, para mayores
detalles). En particular, expongo las concepciones sobre la
prueba de 18 docentes de matemáticas con experiencia
en la enseñanza secundaria, concentrándome en
sus concepciones de la prueba en tanto individuos que
enseñan matemáticas en la escuela.
El papel de la prueba en las
matemáticas de la escuela secundaria
Los docentes entrevistados sugirieron que la prueba tiene
a cargo varios papeles en las matemáticas de la
escuela secundaria, dos de los cuales tienen importantes
funciones educativas y se refieren a aspectos de la reforma.
En primer lugar, los docentes indicaron que la prueba sirve
para responder a la pregunta de por qué un enunciado
es verdadero. En este caso, en lugar de explicar por
qué el enunciado es verdadero, la prueba sirve para
mostrar cómo es que el enunciado ha llegado a ser
verdadero. Por ejemplo, los docentes consideraron que una
deducción de la formula resolvente de la
ecuación cuadrática es un ejemplo de esta
papel de la prueba&emdash;es posible seguir los pasos en la
deducción para comprender como se encontró la
fórmula (es decir, "porqué" resultó ser
verdadera). Uno de los docentes comentó, "Les da a
los chicos una manera de entender porqué las cosas
son de la manera en que son
. En lugar de solamente
aceptarlas porque sí, la prueba les da a los
estudiantes una manera de justificar esas
fórmulas."
En segundo lugar, pero en relación
con la primera función notada, los docentes
mencionaron el papel de la prueba en estimular la
autonomía de los estudiantes. Para que los
estudiantes sean autónomos en las clases de
matemáticas, debe ser posible que ellos creen su
propio conocimiento a través de la validación
de sus propias afirmaciones y las de sus compañeros
de clase. Un docente sugirió que la prueba "permite a
sus estudiantes ser independientes intelectualmente, en
lugar de ser solamente robots a los que se les dice
'ésta es la relación, esto es lo que
funciona
.' Así, los estudiantes no necesitan
esperar que el docente o el libro les de la
información." Nuevamente, este papel es importante
desde un punto de vista pedagógico pues permite a los
estudiantes convertirse en productores de conocimiento en
lugar de consumidores del conocimiento de otros. Más
aún, esta función de la prueba se corresponde
con una de las metas más importantes identificadas en
el último documento Standards: "Una meta principal de
los programas educativos en matemáticas
debería de ser la de formar estudiantes que puedan
aprender autónomamente (NCTM, 1998, p. 35).
Notoriamente ausente entre las sugerencias
de los docentes entrevistados está el reconocimiento
de que la prueba tiene una función explicativa, es
decir, que la prueba sirve para promover la
comprensión de las matemáticas en
juego&emdash;esta es una función de la prueba que
muchos matemáticos consideran importante (Hanna,
1983, 1990; Hersh, 1993). De cierta manera no sorprende que
esa función no fuera mencionada por ninguno de los
docentes. Para muchos de ellos, sus experiencias iniciales
con la demostración durante su formación en
matemáticas se concentraron en afianzar el mecanismo
deductivo o bien en obtener un producto final más que
en ver como la prueba iluminaba las relaciones
matemáticas implicadas (e.g., Chazan, 1993; Goetting,
1995; Harel & Sowder, 1998). Sin embargo, de todos los
roles que cumple la prueba, su rol en promover la
comprensión es probablemente el más importante
desde el punto de vista educativo. Como sugiere Hersh
(1993), "en la escuela secundaria o en los primeros
años de universidad, el papel principal [de la
prueba] es explicar" (p. 398). Ross (1998) además
indica que "el énfasis en la prueba en las
matemáticas escolares debería estar puesto
más en su valor educativo que en la corrección
formal. No hay que perder tiempo en los detalles
técnicos de la pruebas, o aún en pruebas
enteras, si éstos no ayudan a comprender o generar
ideas" (p. 3).
¿Prueba para
todos?
En contraste con el papel fundamental que le reconocieron
a la prueba en las disciplinas matemáticas, la
mayoría de los docentes entrevistados no
consideró que la prueba tenga un papel fundamental en
las matemáticas de la escuela secundaria. En efecto,
estos docentes cuestionaron el hecho de que se la considere
apropiada para todos los estudiantes. Un docente
comentó: "[La prueba es] para chicos que les
interesa las matemáticas y que probablemente sigan
estudiando matemáticas en la universidad. Con
respecto a alumnos de décimo grado o de grados
inferiores, no estoy convencido de que la prueba tenga
importancia para ellos." Otro docente fue aun más
firme en su cuestionamiento sobre lo apropiado de la prueba
para todos los estudiantes: "Me parece que ellos [los
que proponen que la prueba se extienda a través de
toda la escolaridad] deben estar fumando crack. Me
gustaría ver cómo harían que eso
ocurra, como se vería eso en una clase." Así
que para estos docentes, la prueba parece ser una idea
importante solamente para aquellos alumnos de clases
avanzadas en matemáticas y para aquellos que con
mayor probabilidad estudiarán matemáticas en
la universidad. Este punto de vista está en marcado
contraste con el mensaje de los que abogan por la reforma,
que "el razonamiento y la prueba deben ser parte de la
experiencia matemática de los estudiantes desde
Pre-Kindergarten hasta duodécimo grado" (NCTM, 1998,
p. 85).
Muchos de los docentes fueron aun
más explícitos al establecer el rol de la
prueba en los cursos superiores de matemáticas,
relegando la prueba a los cursos de geometría.
Más aún, incluso los docentes que no
identificaron a la geometría como el nicho de la
prueba en la escuela secundaria indicaron que su presencia
en otras clases avanzadas es implícita en el mejor de
los casos, y que en la mayoría de los casos la prueba
está ausente. Como sugirió uno de los
docentes, "En las matemáticas de la escuela
secundaria, la prueba no es una componente importante de los
cursos de álgebra o de análisis." Nuevamente
se puede ver un punto de vista incompatible con el mensaje
de la reforma, ("Pruebas formales existen en todas las
áreas en matemáticas y las experiencias
escolares de los estudiantes con la prueba no
deberían limitarse a la geometría" NCTM, 1998,
p. 316)--un punto de vista que tampoco es compatible con la
esencia de la prueba en matemáticas.
Sin embargo, los docentes entrevistados
sí consideraron que pruebas informales (por ejemplo,
argumentos basados en evidencia empírica) tienen un
papel importante en la educación matemática de
todos los estudiantes. Mediante experiencias con
métodos más informales de prueba se puede
proveer oportunidades para que los estudiantes formulen e
investiguen conjeturas&emdash;ambos aspectos importantes en
la práctica matemática&emdash;y estimularlos a
que "desarrollen un sentido de necesidad de comprender
porque una conjetura es verdadera" (Hoyles, 1997, p. 8).
Estas prácticas tambien reflejan el proceso de
experimentación en matemáticas: "La
mayoría de los matemáticos pasan una gran
cantidad de tiempo pensando en ejemplos particulares y
analizándolos. Esto motiva desarrollos futuros de la
teoría y promueve una comprensión más
profunda de la teoría existente" (Epstein & Levy,
1995, p. 670). Según muchos docentes, las pruebas
informales sirven esta precisa función (en clases
avanzadas, y en geometría en particular)&emdash;es
decir, la función de ser precursoras del desarrollo
de métodos más formales de prueba&emdash;la
función de "desarrollar la teoría." Una
docente describió este proceso en una de sus clases:
"Hago que los estudiantes hagan este experimento bien
temprano en el año para que vean que funciona. Luego,
cuando hemos introducido otros conceptos geométricos,
volvemos a esto y lo probamos formalmente."
Para los estudiantes de clases de menor
nivel académico, sin embargo, sus encuentros con la
prueba se limitan a las pruebas informales. Como
comentó un docente, "Cuando ellos dicen
'Descubrí este patrón y lo verifiqué
para muchos casos,' uno les dice 'buen trabajo.' Para ellos
eso es una prueba. Uno no los molesta con casos generales."
De hecho, pocos docentes siquiera consideran las
limitaciones de esas pruebas informales con sus estudiantes;
se deja que los estudiantes crean que sus argumentos
informales son en efecto pruebas. Como ha notado Wu (1996),
este énfasis en pruebas informales, aún para
estudiantes en clases de bajo nivel académico es "un
movimiento en la dirección correcta solamente si es
un suplemento (no una sustitución) a la
enseñanza de la manera correcta de razonar en
matemáticas, es decir a la prueba" (p. 226).
En síntesis, es evidente que las
recomendaciones de la reforma concernientes a la "prueba
para todos" no coinciden con los puntos de vista mantenidos
por muchos docentes. En lugar de proveer a todos los
estudiantes con oportunidades para desarrollar una
comprensión cada vez más sofisticada de la
demostración" (NCTM, 1998, p. 316) y "una
apreciación de la necesidad y el poder de la
demostración para establecer la verdad de sus
conjeturas" (p. 317), los docentes entrevistados se
inclinaron a ver esas metas como apropiadas para estudiantes
matriculados en cursos más avanzados&emdash;la
minoría de los estudiantes que toman cursos de
matemáticas en la escuela secundaria. Más
aún, incluso para esos estudiantes enrolados en
clases avanzadas de matemáticas, los docentes se
inclinaron a ver a la geometría como el curso donde
los estudiantes encontrarían explícitamente
las prácticas de prueba. De modo que, si estos
docentes constituyen una muestra representativa, para la
mayoría de los estudiantes&emdash;enrolados en clases
de menor nivel académico o en clases avanzadas fuera
de la geometría&emdash;sus experiencias
matemáticas en la escuela secundaria muy
probablemente no incluyen encuentros significativos con los
métodos más formales de prueba.
Implicaciones para la
Formación de Docentes de
Matemáticas
Si se espera que los docentes tengan éxito
integrando la prueba a través del curriculum de la
escolaridad secundaria, sus concepciones sobre la prueba
deben ampliarse. La responsabilidad de esa ampliación
está dentro del ámbito de trabajo tanto de los
matemáticos como de los educadores
matemáticos&emdash;los que normalmente son
responsables del tipo de experiencias que los docentes
tienen con la prueba en sus cursos de matemática y de
educación matemática.
Al preparar docentes de matemáticas
para satisfacer las demandas de la reforma, los profesores
universitarios de matemáticas deberían
involucrarlos en experiencias de clase donde el rol de la
prueba refleje mejor el uso que ellos le dan a la prueba en
sus prácticas profesionales. Como sugieren Alibert y
Thomas (1991) ,
el contexto en el cual los estudiantes
encuentran la prueba en matemáticas puede
influenciar en gran medida la percepción que ellos
tengan del valor de la prueba. Mediante establecer un
ambiente donde los estudiantes puedan ver y experimentar
en carne propia lo que se necesita para convencer a otros
de la verdad o la falsedad de una proposición, la
prueba se vuelve un instrumento de valor personal al cual
ellos se sentirán felices de usar en el futuro (p.
230).
En breve, los [futuros] docentes necesitan
experimentar la prueba como una herramienta cuyo sentido se
encuentra en el estudio y la comunicación de las
matemáticas, no como habitualmente se la ve&emdash;un
ejercicio sin sentido hecho por el profesor. Si aquél
es el caso, estas experiencias tal vez influyan en las
concepciones de la prueba desarrolladas por los docentes,
las que a su vez influenciarán las experiencias con
la prueba que sus estudiantes tengan en la clases de
matemáticas en la escuela secundaria.
Tal vez el desafío mas grande al
que se enfrentan los formadores de docentes de
matemáticas es el de cambiar las creencias de los
docentes sobre lo apropiado de la prueba para todos los
estudiantes y para todas los cursos de matemáticas.
Un punto de partida puede ser el de involucrar a los
docentes en discusiones sobre que constituye una prueba.
Aquello que se considera como prueba suficiente en las
disciplinas matemáticas ¿ es diferente de lo que
se considera como prueba suficiente en las
matemáticas de la escuela secundaria? ¿Es una
prueba una prueba o hay niveles de prueba? Si los docentes
tienen una comprensión limitada de qué
constituye una prueba, no sorprende que puedan percibir a la
prueba como inapropiada para la mayoría de los
estudiantes secundarios. Hacer que los docentes construyan y
presenten pruebas relacionadas con actividades
matemáticas de la escuela secundaria&emdash;de
variado contenido y nivel&emdash;provee de un foro en el que
pueden discutirse las expectativas que pueden plantearse con
respecto a la prueba para estudiantes de diversos grados de
competencia y de cursos de contenido variado. Además,
al proveer a los docentes de oportunidades en las que ellos
puedan discutir los méritos pedagógicos de
distinos argumentos para una misma actividad en
términos de las calidades explicativas de cada
argumento puede engendrar en los dccentes una perspectiva
más rica para contemplar los argumentos que ellos
escojan en su propia práctiuca docente (cf. Hanna,
1990). Involucrar a los docentes en todas las actividades
mencionadas arriba puede resultar en que ellos adopten un
punto de vista de la prueba como herramienta para el estudio
y la comprensión de las matemáticas&emdash;una
meta apropiada para todos los estudiantes&emdash;en lugar de
solamente un tema de estudio&emdash;una meta percibida como
apropiada para solamente una minoría.
Comentarios de
Conclusión
Como lo sugiere Edwards (1997), "la enseñanza de
la prueba que se da lugar en muchas clases de
matemáticas de secundaria ha sido muchas veces
inconsistente con tanto el proposito como la practica de
probar de matemáticos profesionales" (p. 187). En
cierto sentido esto no sorprende; los docentes de
matemáticas de la escuela secundaria&emdash;y sus
estudiantes&emdash;no son matemáticos. Sin embargo,
la naturaleza de las prácticas de la clase de
matemáticas proyectadas en las recientes iniciativas
de reforma, las cuales se espera que los docentes pongan en
práctica, reflejan la esencia de la práctica
en las disciplinas matemáticas (Hoyles, 1997). Esta
visión de la práctica matemática, sin
embargo, impone serios requerimientos en los docentes de
secundaria. El éxito de ellos al responder a esas
demandas depende en gran medida de sus concepciones de la
prueba. Al inicio de este artículo, planteé la
siguiente pregunta: ¿Están preparados los
docentes de matemáticas para poner en práctica
las nuevas recomendaciones de la reforma en lo que tiene que
ver con el papel de la prueba en la enseñanza? En
respuesta, sugiero que la puesta en práctica exitosa
de esas recomendaciones puede ser difícil para los
estudiantes. Mi esperanza es que los resultados de este
estudio (los cuales fueron presentados brevemente en este
artículo) provean a los educadores matemáticos
de la información que ellos necesitan para preparar a
los docentes de tal suerte que estos puedan poner en
práctica con éxito estas nuevas
recomendaciones. Estoy en un todo de acuerdo con Schoenfeld
(1994), quien concluyó, "¿Necesitamos la prueba
en las matemáticas escolares?¡Por
supuesto!¿Debo decir algo más? ¡Por
supuesto!
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©
Eric Knuth
© por la
traducción, Patricio Herbst
Comentarios de Keith
Austin
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