La lettre de la Preuve

       

ISSN 1292-8763

Mai/Juin 2000

   

¿Renacer á la prueba en las matemáticas escolares en los Estados Unidos?
 

Eric Knuth
University of Wisconsin, USA

 

No está tan lejos la época en la que en los Estados Unidos se esperaba que la demostración participara de la educación matemática de todos los estudiantes. En efecto, una característica de las matemáticas modernas de finales de los cincuenta y comienzos de los sesenta fue el énfasis en el "rigor en la presentación de las ideas matemáticas, particularmente en demostraciones rigurosas" (Hanna, 1983, p. 1). Sin embargo, tal reforma curricular recibió su cuota de críticas debido a la proliferación de demostraciones en los libros y a la manera como la reforma fue implementada en la práctica. En gran medida debido a esas críticas, y considerando los efectos que el curriculum produjo en las concepciones de la prueba (y de las matemáticas en general) de los estudiantes (y de los docentes), el documento Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics (producido en 1989 por el National Council of Teachers of Mathematics [NCTM]) restó énfasis a la demostración en la escuela, prefiriendo en su lugar hablar de razonamiento (J. Kilpatrick, comunicación personal, Marzo 1999). Como consecuencia, los estudiantes experimentan una cantidad limitada de encuentros con la demostración en la escuela&emdash;no es sorprendente el hecho de que ellos hallen difícil el estudio de la demostración (ver Chazan, 1993; Sowder & Harel, 1998; Usiskin, 1987).
   Esta ausencia de la demostración no ha sido pasada por alto, sin embargo. De hecho, ha sido un blanco de las críticas. Wu (1996) indicó que la poca cantidad de pruebas fuera de la geometría es
   Un defecto evidente en la matematica que se enseña en las escuelas de hoy en día … el hecho de que fuera de la geometría casi no se pruebe nada. Comparada con otras anomalías en educación, ésta es por cierto más anómala que otras por cuanto presenta una imágen totalmente falsa de las matemáticas.
   De modo similar, Schoenfeld (1994) sugirió, "La demostración no es una cosa que pueda separarse de las matemáticas de la manera en la que nuestros curricula lo hacen; se trata de una componente esencial al quehacer matemático, a la comunicación y al registro de los conocimientos matemáticos" (p. 76). Demostrando conciencia de tales críticas, y sin duda tomando en cuenta la importancia central de la demostración en matemáticas, las corrientes reformistas más recientes invitan cambios importantes con respecto a la demostración tanto en el curriculum como en las prácticas docentes.
   En contraste con el status de la prueba en los estándares curriculares anteriores (vgr., NCTM, 1989), la posicion de la prueba se ha elevado de manera significativa en los documentos más recientes (por ejemplo en NCTM, 1998&emdash;un documento que intenta ser la guía de las revisiones curriculares en Estados Unidos durante el milenio que empieza). No solo la prueba se ha convertido en un Standard propiamente dicho (Mathematical Reasoning and Proof), sino que además ha recibido un rol mucho más prominente a través del curriculum de toda la escolaridad. Se espera que la prueba sea parte de las experiencias de todos los estudiantes. En particular, los Principles and Standards for School Mathematics (NCTM, 1998) recomiendan que desde pre-K a grado 12:

Los planes de estudios en matemáticas deberán concentrarse en el aprendizaje del razonamiento y la construcción de pruebas de tal suerte que todos los estudiantes --
   - Reconozcan que el razonamiento y la prueba son componentes esenciales y poderosas de las matemáticas
   - Formulen e investiguen conjeturas matemáticas
   - Produzcan y evalúen argumentos y demostraciones matemáticas, y
   - Seleccionen y usen varios tipos de razonamiento y métodos de prueba según éstos sean apropiados (p. 80)

Al leer esas recomendaciones se ve claramente que nuevamente se espera que la prueba tenga un papel preponderante en las matemáticas escolares en los Estados Unidos. Pero subsiste una pregunta importante&emdash;una que tiene serias implicaciones para que la demostración se implemente exitosamente en las matemáticas escolares: ¿Están preparados los docentes para poner en práctica esas recomendaciones?
   Sugerencias didácticas tendientes a aumentar el rol de la prueba en la clase, y consecuentemente mejorar las concepciones de la prueba en los estudiantes, requieren mucho del docente (Chazan, 1990). Sin embargo, la formación de docentes en matemáticas, tradicionalmente, no ha preparado adecuadamente a los docentes para implementar las metas grandiosas sugeridas en los documentos de reforma curricular (Ross, 1998). Esta preparación inadecuada es particularmente problemática con respecto a la prueba si se consideran las concepciones limitadas que tienen de la prueba los futuros docentes (véase Goetting, 1995; Harel & Sowder, 1998; Jones, 1997; Martin & Harel, 1989; Simon & Blume, 1996). Más aun, si concebimos a los docentes como individuos que enseñan matemáticas en la escuela, se puede decir que no se ha investigado suficientemente las concepciones de la prueba de ellos; lo que se ha hecho es investigar las concepciones de la prueba en los docentes concebidos como individuos que saben matemáticas.
   En este artículo examino brevemente los resultados de un estudio que fue diseñado para investigar la pregunta precedente y asimismo identificar áreas en las cuales la formación docente necesita concentrarse para que las recomendaciones de la reforma puedan ponerse en práctica exitosamente (véase Knuth, 1999, 2000a, 2000b, para mayores detalles). En particular, expongo las concepciones sobre la prueba de 18 docentes de matemáticas con experiencia en la enseñanza secundaria, concentrándome en sus concepciones de la prueba en tanto individuos que enseñan matemáticas en la escuela.

El papel de la prueba en las matemáticas de la escuela secundaria

Los docentes entrevistados sugirieron que la prueba tiene a cargo varios papeles en las matemáticas de la escuela secundaria, dos de los cuales tienen importantes funciones educativas y se refieren a aspectos de la reforma. En primer lugar, los docentes indicaron que la prueba sirve para responder a la pregunta de por qué un enunciado es verdadero. En este caso, en lugar de explicar por qué el enunciado es verdadero, la prueba sirve para mostrar cómo es que el enunciado ha llegado a ser verdadero. Por ejemplo, los docentes consideraron que una deducción de la formula resolvente de la ecuación cuadrática es un ejemplo de esta papel de la prueba&emdash;es posible seguir los pasos en la deducción para comprender como se encontró la fórmula (es decir, "porqué" resultó ser verdadera). Uno de los docentes comentó, "Les da a los chicos una manera de entender porqué las cosas son de la manera en que son…. En lugar de solamente aceptarlas porque sí, la prueba les da a los estudiantes una manera de justificar esas fórmulas."
   En segundo lugar, pero en relación con la primera función notada, los docentes mencionaron el papel de la prueba en estimular la autonomía de los estudiantes. Para que los estudiantes sean autónomos en las clases de matemáticas, debe ser posible que ellos creen su propio conocimiento a través de la validación de sus propias afirmaciones y las de sus compañeros de clase. Un docente sugirió que la prueba "permite a sus estudiantes ser independientes intelectualmente, en lugar de ser solamente robots a los que se les dice 'ésta es la relación, esto es lo que funciona….' Así, los estudiantes no necesitan esperar que el docente o el libro les de la información." Nuevamente, este papel es importante desde un punto de vista pedagógico pues permite a los estudiantes convertirse en productores de conocimiento en lugar de consumidores del conocimiento de otros. Más aún, esta función de la prueba se corresponde con una de las metas más importantes identificadas en el último documento Standards: "Una meta principal de los programas educativos en matemáticas debería de ser la de formar estudiantes que puedan aprender autónomamente (NCTM, 1998, p. 35).
   Notoriamente ausente entre las sugerencias de los docentes entrevistados está el reconocimiento de que la prueba tiene una función explicativa, es decir, que la prueba sirve para promover la comprensión de las matemáticas en juego&emdash;esta es una función de la prueba que muchos matemáticos consideran importante (Hanna, 1983, 1990; Hersh, 1993). De cierta manera no sorprende que esa función no fuera mencionada por ninguno de los docentes. Para muchos de ellos, sus experiencias iniciales con la demostración durante su formación en matemáticas se concentraron en afianzar el mecanismo deductivo o bien en obtener un producto final más que en ver como la prueba iluminaba las relaciones matemáticas implicadas (e.g., Chazan, 1993; Goetting, 1995; Harel & Sowder, 1998). Sin embargo, de todos los roles que cumple la prueba, su rol en promover la comprensión es probablemente el más importante desde el punto de vista educativo. Como sugiere Hersh (1993), "en la escuela secundaria o en los primeros años de universidad, el papel principal [de la prueba] es explicar" (p. 398). Ross (1998) además indica que "el énfasis en la prueba en las matemáticas escolares debería estar puesto más en su valor educativo que en la corrección formal. No hay que perder tiempo en los detalles técnicos de la pruebas, o aún en pruebas enteras, si éstos no ayudan a comprender o generar ideas" (p. 3).

¿Prueba para todos?

En contraste con el papel fundamental que le reconocieron a la prueba en las disciplinas matemáticas, la mayoría de los docentes entrevistados no consideró que la prueba tenga un papel fundamental en las matemáticas de la escuela secundaria. En efecto, estos docentes cuestionaron el hecho de que se la considere apropiada para todos los estudiantes. Un docente comentó: "[La prueba es] para chicos que les interesa las matemáticas y que probablemente sigan estudiando matemáticas en la universidad. Con respecto a alumnos de décimo grado o de grados inferiores, no estoy convencido de que la prueba tenga importancia para ellos." Otro docente fue aun más firme en su cuestionamiento sobre lo apropiado de la prueba para todos los estudiantes: "Me parece que ellos [los que proponen que la prueba se extienda a través de toda la escolaridad] deben estar fumando crack. Me gustaría ver cómo harían que eso ocurra, como se vería eso en una clase." Así que para estos docentes, la prueba parece ser una idea importante solamente para aquellos alumnos de clases avanzadas en matemáticas y para aquellos que con mayor probabilidad estudiarán matemáticas en la universidad. Este punto de vista está en marcado contraste con el mensaje de los que abogan por la reforma, que "el razonamiento y la prueba deben ser parte de la experiencia matemática de los estudiantes desde Pre-Kindergarten hasta duodécimo grado" (NCTM, 1998, p. 85).
   Muchos de los docentes fueron aun más explícitos al establecer el rol de la prueba en los cursos superiores de matemáticas, relegando la prueba a los cursos de geometría. Más aún, incluso los docentes que no identificaron a la geometría como el nicho de la prueba en la escuela secundaria indicaron que su presencia en otras clases avanzadas es implícita en el mejor de los casos, y que en la mayoría de los casos la prueba está ausente. Como sugirió uno de los docentes, "En las matemáticas de la escuela secundaria, la prueba no es una componente importante de los cursos de álgebra o de análisis." Nuevamente se puede ver un punto de vista incompatible con el mensaje de la reforma, ("Pruebas formales existen en todas las áreas en matemáticas y las experiencias escolares de los estudiantes con la prueba no deberían limitarse a la geometría" NCTM, 1998, p. 316)--un punto de vista que tampoco es compatible con la esencia de la prueba en matemáticas.
   Sin embargo, los docentes entrevistados sí consideraron que pruebas informales (por ejemplo, argumentos basados en evidencia empírica) tienen un papel importante en la educación matemática de todos los estudiantes. Mediante experiencias con métodos más informales de prueba se puede proveer oportunidades para que los estudiantes formulen e investiguen conjeturas&emdash;ambos aspectos importantes en la práctica matemática&emdash;y estimularlos a que "desarrollen un sentido de necesidad de comprender porque una conjetura es verdadera" (Hoyles, 1997, p. 8). Estas prácticas tambien reflejan el proceso de experimentación en matemáticas: "La mayoría de los matemáticos pasan una gran cantidad de tiempo pensando en ejemplos particulares y analizándolos. Esto motiva desarrollos futuros de la teoría y promueve una comprensión más profunda de la teoría existente" (Epstein & Levy, 1995, p. 670). Según muchos docentes, las pruebas informales sirven esta precisa función (en clases avanzadas, y en geometría en particular)&emdash;es decir, la función de ser precursoras del desarrollo de métodos más formales de prueba&emdash;la función de "desarrollar la teoría." Una docente describió este proceso en una de sus clases: "Hago que los estudiantes hagan este experimento bien temprano en el año para que vean que funciona. Luego, cuando hemos introducido otros conceptos geométricos, volvemos a esto y lo probamos formalmente."
   Para los estudiantes de clases de menor nivel académico, sin embargo, sus encuentros con la prueba se limitan a las pruebas informales. Como comentó un docente, "Cuando ellos dicen 'Descubrí este patrón y lo verifiqué para muchos casos,' uno les dice 'buen trabajo.' Para ellos eso es una prueba. Uno no los molesta con casos generales." De hecho, pocos docentes siquiera consideran las limitaciones de esas pruebas informales con sus estudiantes; se deja que los estudiantes crean que sus argumentos informales son en efecto pruebas. Como ha notado Wu (1996), este énfasis en pruebas informales, aún para estudiantes en clases de bajo nivel académico es "un movimiento en la dirección correcta solamente si es un suplemento (no una sustitución) a la enseñanza de la manera correcta de razonar en matemáticas, es decir a la prueba" (p. 226).
   En síntesis, es evidente que las recomendaciones de la reforma concernientes a la "prueba para todos" no coinciden con los puntos de vista mantenidos por muchos docentes. En lugar de proveer a todos los estudiantes con oportunidades para desarrollar una comprensión cada vez más sofisticada de la demostración" (NCTM, 1998, p. 316) y "una apreciación de la necesidad y el poder de la demostración para establecer la verdad de sus conjeturas" (p. 317), los docentes entrevistados se inclinaron a ver esas metas como apropiadas para estudiantes matriculados en cursos más avanzados&emdash;la minoría de los estudiantes que toman cursos de matemáticas en la escuela secundaria. Más aún, incluso para esos estudiantes enrolados en clases avanzadas de matemáticas, los docentes se inclinaron a ver a la geometría como el curso donde los estudiantes encontrarían explícitamente las prácticas de prueba. De modo que, si estos docentes constituyen una muestra representativa, para la mayoría de los estudiantes&emdash;enrolados en clases de menor nivel académico o en clases avanzadas fuera de la geometría&emdash;sus experiencias matemáticas en la escuela secundaria muy probablemente no incluyen encuentros significativos con los métodos más formales de prueba.

Implicaciones para la Formación de Docentes de Matemáticas

Si se espera que los docentes tengan éxito integrando la prueba a través del curriculum de la escolaridad secundaria, sus concepciones sobre la prueba deben ampliarse. La responsabilidad de esa ampliación está dentro del ámbito de trabajo tanto de los matemáticos como de los educadores matemáticos&emdash;los que normalmente son responsables del tipo de experiencias que los docentes tienen con la prueba en sus cursos de matemática y de educación matemática.
   Al preparar docentes de matemáticas para satisfacer las demandas de la reforma, los profesores universitarios de matemáticas deberían involucrarlos en experiencias de clase donde el rol de la prueba refleje mejor el uso que ellos le dan a la prueba en sus prácticas profesionales. Como sugieren Alibert y Thomas (1991) ,

el contexto en el cual los estudiantes encuentran la prueba en matemáticas puede influenciar en gran medida la percepción que ellos tengan del valor de la prueba. Mediante establecer un ambiente donde los estudiantes puedan ver y experimentar en carne propia lo que se necesita para convencer a otros de la verdad o la falsedad de una proposición, la prueba se vuelve un instrumento de valor personal al cual ellos se sentirán felices de usar en el futuro (p. 230).

En breve, los [futuros] docentes necesitan experimentar la prueba como una herramienta cuyo sentido se encuentra en el estudio y la comunicación de las matemáticas, no como habitualmente se la ve&emdash;un ejercicio sin sentido hecho por el profesor. Si aquél es el caso, estas experiencias tal vez influyan en las concepciones de la prueba desarrolladas por los docentes, las que a su vez influenciarán las experiencias con la prueba que sus estudiantes tengan en la clases de matemáticas en la escuela secundaria.
   Tal vez el desafío mas grande al que se enfrentan los formadores de docentes de matemáticas es el de cambiar las creencias de los docentes sobre lo apropiado de la prueba para todos los estudiantes y para todas los cursos de matemáticas. Un punto de partida puede ser el de involucrar a los docentes en discusiones sobre que constituye una prueba. Aquello que se considera como prueba suficiente en las disciplinas matemáticas ¿ es diferente de lo que se considera como prueba suficiente en las matemáticas de la escuela secundaria? ¿Es una prueba una prueba o hay niveles de prueba? Si los docentes tienen una comprensión limitada de qué constituye una prueba, no sorprende que puedan percibir a la prueba como inapropiada para la mayoría de los estudiantes secundarios. Hacer que los docentes construyan y presenten pruebas relacionadas con actividades matemáticas de la escuela secundaria&emdash;de variado contenido y nivel&emdash;provee de un foro en el que pueden discutirse las expectativas que pueden plantearse con respecto a la prueba para estudiantes de diversos grados de competencia y de cursos de contenido variado. Además, al proveer a los docentes de oportunidades en las que ellos puedan discutir los méritos pedagógicos de distinos argumentos para una misma actividad en términos de las calidades explicativas de cada argumento puede engendrar en los dccentes una perspectiva más rica para contemplar los argumentos que ellos escojan en su propia práctiuca docente (cf. Hanna, 1990). Involucrar a los docentes en todas las actividades mencionadas arriba puede resultar en que ellos adopten un punto de vista de la prueba como herramienta para el estudio y la comprensión de las matemáticas&emdash;una meta apropiada para todos los estudiantes&emdash;en lugar de solamente un tema de estudio&emdash;una meta percibida como apropiada para solamente una minoría.

Comentarios de Conclusión

Como lo sugiere Edwards (1997), "la enseñanza de la prueba que se da lugar en muchas clases de matemáticas de secundaria ha sido muchas veces inconsistente con tanto el proposito como la practica de probar de matemáticos profesionales" (p. 187). En cierto sentido esto no sorprende; los docentes de matemáticas de la escuela secundaria&emdash;y sus estudiantes&emdash;no son matemáticos. Sin embargo, la naturaleza de las prácticas de la clase de matemáticas proyectadas en las recientes iniciativas de reforma, las cuales se espera que los docentes pongan en práctica, reflejan la esencia de la práctica en las disciplinas matemáticas (Hoyles, 1997). Esta visión de la práctica matemática, sin embargo, impone serios requerimientos en los docentes de secundaria. El éxito de ellos al responder a esas demandas depende en gran medida de sus concepciones de la prueba. Al inicio de este artículo, planteé la siguiente pregunta: ¿Están preparados los docentes de matemáticas para poner en práctica las nuevas recomendaciones de la reforma en lo que tiene que ver con el papel de la prueba en la enseñanza? En respuesta, sugiero que la puesta en práctica exitosa de esas recomendaciones puede ser difícil para los estudiantes. Mi esperanza es que los resultados de este estudio (los cuales fueron presentados brevemente en este artículo) provean a los educadores matemáticos de la información que ellos necesitan para preparar a los docentes de tal suerte que estos puedan poner en práctica con éxito estas nuevas recomendaciones. Estoy en un todo de acuerdo con Schoenfeld (1994), quien concluyó, "¿Necesitamos la prueba en las matemáticas escolares?¡Por supuesto!¿Debo decir algo más? ¡Por supuesto!

References

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© Eric Knuth

© por la traducción, Patricio Herbst

Comentarios de Keith Austin

  

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